Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 49

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 124 >> Следующая

G = nkX ( - mgK) = - mgasinO/, (56.16)
где OD - а.
Уравнение движепия имеет вид
h = G; (56.17)
оно приводит к трем дифференциальным уравнениям для О, ф и со3.
Удобнее, однако, продолжать исследование
не прямым путем *). Согласно уравнениям (49.17) имеем
ш з = s = const (56.18)
(s - спин волчка). Мы имеем также уравнения d
dt {h-K) = h K = G K= О,
(56.19)
h'K = а,
постоянная а - момент импульса относительно оси К; кроме того, имеем
интеграл энергии
Т + V = А (са? + ю2) + 2~ Са>\ + mgacosft =Е, (56.20)
Е - const. Подставляя значения § и ф из (56.14), (56.15) и (56.18) в
уравнения (56.19) и (56.20), получаем следующие два уравнения для О и ф:
A sin2 Оф = а - р cos б1, ^
о 2 ( c5g 21)
А (б-2 + sin2 6-ф2) + = 2 (Е - mga cos O'), j
О О прямом исследовании симметричного волчка с помощью уравнений Лагранжа
см. Уиттекер [28], стр. 174-183, где введены и углы Эйлера, и параметры
Кэли - Клейна. О симметричном волчке на гладкой плоскости см. Уиттекер
[281, стр. 183-184.
176 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III
где Р = С s. Исключая ф и полагая cos й = х, получаем следующее
дифференциальное уравнение:
x2 = f(x), 1
г/ ч 1 Р2 о 2ч (а-И2 (56'22)
f(x) = -?\2E - -g- - 2mgaxJ(l-xi) - > ^ . J
Так как fix) положительна во все время движения (исключая моменты, когда
х = 0) и так как /(-1) < 0, /(1) < 0, то эта функция есть кубический
многочлен относительно х и имеет три действительных корня xi, х2, х3,
таких, что
-1 < Xi < х2 < 1 < х3; (56.23)
специальные случаи равенства корней здесь не рассматриваются. Переменная
х колеблется в пределах (xi, х2) и решением является выражение
cos й = х = Xi + (х2 - х1) sn2 п (t - ?о), (56.24)
где
п = fmga (х, - х.) ^ к _ - х, _
V 2 А V х3 - х\
к - модуль эллиптической функции Якоби sn. Азимутальный угол ф задается
уравнением
а~^Х (56.26)
т А{ l-z2)'
Ясно, что ф имеет один и тот же знак во время движения тогда и только
тогда, когда а/p лежит вне интервала (Xi, х2).
Лучше всего изучить это движение, исследуя траекторию конца вектора к на
единичной сфере; полярные координаты на ней - (й, ф). Траектория
заключена между двумя окружностями, х = Xi (верхней) и х - х2 (нижней);
§ 56]
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК
177
траектория имеет самопересечения тогда и только тогда,
когда во время движения ср меняет знак1).
Y) Симметричный волчок; регулярная прецессия. Любое движение волчка может
быть исследовано, если воспользоваться сравнением моментов G = h,
согласно (56.17). Рассмотрим (принимая обозначения рис. 22)
установившееся движение, заданное условиями
О - const, ф - pt, ш з = s, (56.27)
где pus - некоторые постоянные. Согласно (56.14) и (56.15) имеем
уравнения
сщ = Qt = psind, со2 = Q2 = 0, Q3 = p cos' h = Ap sin Ы + Csk,
h = Qx h = p sin d (Ap cos H - Cs) j.
(56.28)
Момент сил, требуемый для поддержания этого движения, равен моменту силы
тяжести (56.16), при условии, что р и s удовлетворяют уравнению
Csp - Ар2 cos О - mga. (56.29)
Это уравнение определяет установившиеся движения симметричного волчка, с
осью, наклоненной под углом 0 к вертикали; s - спин и р - угловая
скорость прецессии, с которой ось волчка вращается вокруг вертикали,
проведенной через вершину волчка.
Если заданы некоторые значения величин р и О, то можно найти спин s,
удовлетворяющий уравнению (56.29). Пусть, наоборот, заданы s и й; тогда
уравнение (56.29)
х) Дальнейшие детали о движении симметричного волчка см. Аппель [2], т.
II, стр. 181-188; Macmillan [17], т. II, стр. 216-249; Routh [22], т. II,
гл. 5; Synge and Griffith [26], стр. 432-440; Winkelmann and Grammel
[29], стр. 406-422. Можно сослаться также на классическое исследование
Klein F. and Sommerfeld A., Ober die Theorie des Kreisels, Leipzig,
Teubner, 1897-1910. Более подробные сведения о теории волчка и
приложениях гироскопов см. Gray A., A Treatise on Gyrostatik and
Rotational Motion, London, Macmillan, 1918, и Граммель P., Гироскоп, его
теория и применения, т. 1, 2, ИЛ, Москва, 1952.
12 Дж. Л. Синг
178 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III
удовлетворяется при двух действительных значениях р, а именно,
р = 2^4 cog ft V~ 4А"в"сов й), (56.30) при условии, что
2 tkAmga cos ft ,,с ,,,
* > ^2 ' (56-31)
Если s велико, то одна из этих угловых скоростей прецессии мала, а другая
- велика; малая величина равна приблизительно
р = ^ ; (56.32)
Cs
это - очень полезная простая формула, из которой можно вычислить спин при
помощи измерения медленной прецессии.
б) Устойчивость спящего волчка. Симметричный волчок называется спящим,
если он вращается вокруг своей оси симметрии, причем эта ось сохраняет
вертикальное направление. В этом движении постоянные а, р, Е, которые
входят в кубичную функцию f(x) формулы (56.22), имеют следующие значения:
а = Р = Cs, Е = ^Cs2+ mga, (56.33)
где s - спин движения, а функция f(x) равна 2тёа ,Л 2ч (, , " CV \
= + (56.34)
Функция имеет двойной корень в точке х = 1 и простой корень в точке
С У
х = х0 = 1, (56.35)
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed