Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 55. Векторная диаграмма упругого удара.
рез Рг, Р'г - 4-импульсы щие уравнения:
м; + р; = мг + рт, ]
М'гМ'г = МГМГ = - т\ [ (122.1)
Р'гР'г - РГРГ = 0. j
Эти шесть уравнений содержат всю информацию, имеющуюся для определения
восьми величин М'Т, Р'г.
Описание исхода столкновения зависит от используемой системы отсчета.
Проще всего это описание в случае системы отсчета центра масс (см. §
121). Однако в обычном описании, которое дано ниже, употребляют
лабораторную систему, в которой частица первоначально находится в
покое1).
*) Дальнейшие детали и описания в других системах отсчета см. Synge, цит.
соч., § 107, стр. 193-199.
§ 122]
комптон-эффект
433
Рис. 56 показывает фотон (с частотой v), приближающийся слева и
рассеивающийся (с частотой v') под углом Материальная частица испытывает
отдачу под углом ф со скоростью, абсолютное значение которой равно
Рис. 56. Комптон-эффект в лабораторной системе отсчета.
как и показано на рис. 56. Из соотношений (420.4) и (120.5) следует, что
три направления движения компланарны и что
, hv a,. hv ту v cos ф + - cos w = - ,
с с
, г ¦ hv'.
ту v sin ф - - sin и = 0, с
ту с2 + hv' = тс2 + hv.
(122.2)
Предполагая, что О принимает любое значение (неопределенность проблемы
заключена отчасти в этом), находим после небольших вычислений
tg ф
1 + к 2к sin
v
с
yOj/l + Л(2+ h) sin2^
1 + 2к (1 + к) sin2 j
(122.3)
28 дж. л. Синг
434
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КАТАСТРОФЫ
И'Л. IV
и
Y =
1
1 + 2А (1 + A) sin2 -i О
/
1
+ 2к sin2 - Ф
1
(122.4)
v
v
1 + 2к sin2 Ф
где
к
hv
(122.5)
тс'
2 '
§ 123. Момент импульса и центр масс1). Пусть хТ - какое-нибудь событие в
истории частицы и пусть Мт -
4-импульс частицы в этом событии. Тогда момент импульса частицы в этом
событии относительно начала пространственновременных координат определен
кососимметричным тензором
Более общо, момент импульса относительно некоторого события определяется
следующим образом:
Если частица свободна, то ее мировая линия есть прямая и Мг направлен
вдоль нее. В этом случае Нге(а) не зависит от частного события хг,
выбранного на мировой линии.
Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих друг с другом только
при катастрофе, в которой мировые линии пересекаются. Столкновение может
быть упру-
*) См. книги Meller'anSynge'a, цитированные в § 107; см. также М а 1 1 е
г С., Ann. Inst. Н, Poincare 11, 251-278 (1949) и Comm. Dublin Inst. Adv.
Studies, Ser. A, 1949.
IITS = xrMs - xsMr.
(123.1)
H" ((I) - {хг нг) (xs hs) Mr - : Hrs CLrJ[Is Цу Mr.
(123.2)
§ 123] МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЦЕНТР МАСС
435
II
гим или неупругим; частицы могут при этом соединяться и могут
образоваться новые частицы; частицы могут быть вещественными частицами
или фотонами. Существенное условие состоит в том, что 4-импульс должен
сохраняться при каждой катастрофе и что каждая катастрофа происходит в
один акт, т. е. катастрофа должна иметь место в од-ной-единственной точке
пространства событий. Рис. 57 показывает мировые линии такой системы.
Пусть П - какое-нибудь пространственноподобное 3-пространство.
Пусть хт - событие, в котором обычная мировая линия пересекает П и пусть
Мг - соответствующий 4-импульс. Тогда каждая мировая линия, пересекающая.
П, определяет момент импульса вида
(123.1) относительно начала пространственновре-меннйх координат, а
полный момент импульса для системы получаем сложением отдельных частиц.
Если передвигать П в пространстве - времени, то этот полный момент
импульса остается, конечно, постоянным до тех пор, пока точка катастрофы
не окажется в пространстве П, потому что между катастрофами каждая
частица является свободной. Кроме того, полный момент импульса не
изменяется и тогда, когда точка катастрофы окажется в П, потому что она
представляется только одним событием, и полный 4-импульс всех частиц
сохраняется. На самом деле, как полный 4-импульс, так и полный момент
импульса на мировой линии, пересекающей П, не зависят от выбора П; они
являются постоянными системы.
Говоря о системе, будем употреблять те же обозначения, которые мы
использовали для одной частицы, а именно: Hrs - полный момент импульса
относительно
28* '
Рис. 57. Мировые линии Системы частиц, взаимодействующих в точке
катастрофы.
моментов импульсов
436
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КАТАСТРОФЫ [ГЛ. IV
начала, Hrs (а) - полный момент импульса относительно события аг, Мг -
полный 4-импульс. Справедливо уравнение вида (123.2), в котором индексы
имеют только что указанный смысл,
Hrs (а) = Hrs - arMs + asMr. (123.3)
Рассмотрим четыре уравнения
Н" (а) Мв = 0, (123.4)
из которых- только три независимых вследствие кососимметричности HTS (а).
Подставив значение HTS (а) из (123.3), получим
HrsMs - arMsMs + MTasMs = 0. (123.5)
Эти уравнения локализуют аг на прямой линии в пространстве - времени с
уравнениями
HrsMs
мпмп
+ тг, (123.6)
где Ф - переменный параметр. Это, так сказать, история центра масс
системы, причем центр масс определяется релятивистски. Эта история
