Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
У к
Она имеет то же направление в пространстве, что и волновая скорость ир,
которая определяется выражением
(118.1); это направление совпадает также с направлением гамильтонова
3-импульса рр. Соотношение между двумя
абсолютными значениями скоростей (и для волны иг -
для частицы) таково:
uv = vpup = с2. (118.5)
Это и есть уравнение де Бройля1).
*) О более сложном соотношении между двумя скоростями для заряженной
частицы в электромагнитном поле см. Synge, цит. соч. в § 110, стр. 90.
§ 119] ДЕ БРОЙЛЕВА ДЛИНА ВОЛНЫ И ЧАСТОТА
425
§ 119. Де Бройлева длина волны и частота. Пусть L - мировая линия частицы
в когерентной системе (рис. 53) и пусть Wi, W2 - две 3-волны де Бройля,
пересекающие L соответственно в событиях А, В. Пусть эти волны выбраны
так, что действие вдоль А В равно h (постоянная Планка).
Считая h бесконечно малой, имеем
- ут dxr = h, (119.1)
где ут - гамильтонов 4-вектор, соответствующий L в точке А, и dxT -
смещение вдоль АВ. Если СВ проведена параллельно оси времени из точки С,
которая лежит на Wi, то период волны де Бройля есть
т = -, (119.2)
где ВС - интервал Минковского.
Согласно уравнениям
(117.8) ут ортогонален волне Wi. Отсюда (так как смещение АВ есть
векторная сумма 4С и СВ) имеем из уравнения (119.1)
- уг dlr = К (119.3)
где dlT - перемещение СВ. Но это последнее перемещение параллельно оси
времени, следовательно,
dlp = 0, dli = iBC. (119.4)
Поэтому уравнение (119.3) дает следующий результат:
k (119.5)
ВС = - - iyi
и
т =
h
icyk
(119.6)
426
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
[ГЛ. III
Это - приближенное выражение для периода волны де Бройля, так как h
считается бесконечно малым.
В случае свободной частицы имеем (ср. (111.7))
yt = mcXt = imyc. (119.7)
Итак, период т и частота v имеют следующие значения:
т = -, hv = туе2. (119.8)
туе
Так как абсолютная величина волновой скорости равна и = с2/г, то длина
волны де Бройля такова:
X = их = - . (Ц9.9)
myv
Эти выражения являются точными в наипростейшем случае, а именно, когда
мировые линии когерентной системы параллельны и, следовательно, волны
плоские и параллельные.
Возвращаясь к общему случаю частицы, движущейся в соответствии с
некоторым уравнением энергии Q (х, у) - 0 или, что эквивалентно, в
соответствии с некоторым гамильтонианом Н, получаем из уравнений (110.19)
и (119.6) выражения
х = - - = - , hv = Н. (119.10)
icy ^ Н
ГЛАВА IV
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КАТАСТРОФЫ
§ 120. Сохранение 4-импульса. В последующем обсуждении катастроф слово
частица означает как материальную частицу с 4-импульсом,
Мр = ^ , M,= imy =(120.1)
с с
так и фотон с 4-импульсом,
hv ,, ihv
Мр = -j- пр, Mi = - . (120.2)
с с"
Все эти компоненты (как в § 108) имеют размерность массы. Под словом
катастрофа будем понимать удар или столкновение нескольких частиц, причем
могут возникнуть новые частицы и число их после катастрофы может
отличаться от исходного, или взрыв, в котором одна частица превращается в
несколько.
Основное предположение состоит в законе сохранения 4-импульса, который
может быть записан в виде
2м; = 2мг, (120.3)
где суммирование в правой части ведется по всем частицам до катастрофы, а
суммирование в левой части - по всем частицам после катастрофы; число
частиц отнюдь не должно быть одним и тем же. Этот закон можно написать в
эквивалентной форме:
2 m'y'vр + 2 - п'р = 2 myvp + 2 - пр, (120.4) с с
2 т'у'с2 + 2 hv = 2 туе2 + 2 hv, (120.5)
428
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КАТАСТРОФЫ
[ГЛ. IV
где (120.4) выражает сохранение релятивистского импульса, а (120.5) -
энергии. Эти законы имеют силу для всех галилеевых систем отсчета.
Пока мы не переходим к содержанию § 123, нет необходимости предполагать,
что мировые линии участвующих в катастрофе частиц пересекаются при этом.
Уравнение сохранения (120.3) введено безотносительно к положениям частиц.
Целесообразно рассмотреть 4-мерное пространство PH, в котором
координатами точки являются Мт и которое имеет ту же геометрию, что и
пространство - время, с той только разницей, что в PH начало координат
есть точка, которую физически можно выделить, в то время как в
пространстве - времени начало координат таким свойством не обладает.
Имеем соотношение
О
Рис. 54. Векторная диаграмма катастрофы в пространстве PH, показывающая
сохранение 4-импульса.
МТМТ = -rri (120.6)
(для фотона m = 0), и это позволяет метризовать пространство PH. С такой
точки зрения уравнение (120.3) представляет очень простую картину в
пространстве PH, аналогичную полигонам сил в статике. Единственный
результирующий вектор двумя различными путями разлагается на два вектора,
из которых один соответствует начальному состоянию, а другой - конечному.
Рис. 54 показывает катастрофу, имеющую место для-двух начальных и трех
конечных частиц.
Считая начальное состояние заданным, имеем четыре уравнения (120.3) для
определения конечного состояния. Могут быть заданы дополнительные
условия, например, собственные массы конечных частиц. Однако даже при
таких условиях существует. только один случай, при котором определено
