Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 115

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 124 >> Следующая

время, получим уравнение орбиты в следующей форме1):
d2q /. к2 \ Wk
-4+ '-тп e = TD- (116-6^
аГ V Ас Ас
Предполагая, что коэффициент q положителен и полагая
V1-
к2
TFT- (I16'7)
А с
получим уравнение орбиты в форме
1 с
Г ' Ар2
w2 Л1/2 ( ч, ,kW
7~р) C0Sr + c)+J?.
- - е - а
L V С / \ /At
(116.8)
где С - постоянная.
Условие конечности орбиты есть
- с2 < И' < с2. (116.9)
Конечную орбиту можно рассматривать как вращающийся эллипс, один фокус
которого находится в начале координат, а перемещение перигелия за один
оборот равно
2л (j - A. (116.10)
0 Ср. Бергман П., Введение в теорию относительности. ИЛ, Москва 1947,
стр. 285; Synge, цит соч. в § 107, стр. 398.
27*
420 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧ. ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. II
Если скорость мала, то эта величина равна приближенно
як
IV
4я V
cV (1 - е2)
(116.11)
где а - большая полуось эллипса, т - период, е - эксцентриситет. Это
выражение дает одну шестую часть вращения, определяемого общей теорией
относительности для движения планеты в гравитационном поле Солнца.
Решение релятивистской проблемы Кеплера может быть получено также методом
разделения переменных в уравнении Гамильтона - Якоби1). При переходе к
полярным координатам (г, ¦6, ф) уравнение (115.5) преобразуется к
следующему:
dS 42
I ___ PI -4-1
+
dr
1
+ 1 (**-)' + г2 \дь)
г2 sin2 ¦6 V Эф )
-) + т2с2 = 0, (116.12)
где
V
ее
г
(116.13)
Мы получаем полный интеграл, положив
S = ai -j- Si (г, й2, а4) + S2 (б1, а2, а3) -j- а3ф -j- а4?;
(116.14)
функции Si vi S2 находятся квадратурами; они должны удовлетворять
уравнениям
- А ("4
vf +
дг
, 2 2 + т с
а 2
2
dS2
+
al
sin2 б1
- - a2.
(116.15)
x) Ср. Зоммерфельд А., цит. соч. в § 99, стр. 541-544, где подход к
проблеме слегка изменен.
§ 116] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА 421
Здесь at - произвольные постоянные. Как и в случае
(112.2), движение определяется уравнениями
, dSi dS2 , . dS2 дЪ\
b2= -- + -- , b3 = cp + -- , 64 = / +
да2 да2 да3 da4
(116.16)
где bt - произвольные постоянные. Эти три уравнения дают г, Ф, ср как
функции t и шести произвольных постоянных а2, а3, я4, Ъ2, Ь3, й4.
ГЛАВА III ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
§ 117. Когерентные системы траекторий в пространстве-времени и связанные
с ними волны. Теорию § 74 и 75 можно приложить к пространству - времени с
тем только изменением в' знаке, которое указано в § 110 и обсуждалось в §
111. Существенные стадии изложения этой теории следующие.
Принимаем за основу уравнение энергии
О (х, у) = 0. (117.1)
Для свободной частицы оно имеет вид (111.5):
2Q = УгУт + тпс = 0. (117.2)
Для заряженной частицы в электромагнитном поле имеем более сложное
уравнение (115.10); для частицы в потенциальном поле (как в § 114) имеем
уравнение
2Q = УрУр + ^ г/4 - ~) + тп2с2 = 0.
Траектории определяются каноническими ниями
dxT _ <9Q dyr _ <9Q
dw dyr ' dw дхт
Выделяя множество траекторий, образующих странство R пространства -
времени, мы связываем с каждым событием в R гамильтонов 4-вектор уг,
принадлежащий траектории, которая проходит через это событие. Этот
4-вектор ут можно найти из первой группы
(117.3) уравне-
(117.4) подпро-
§ И7]
КОГЕРЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ТРАЕКТОРИЙ
423
уравнений (117.4), или, что эквивалентно, из уравнений Уг = -^,
(117.5)
ох
где Л (х, х') - однородный лагранжиан, соответствующий уравнению энергии
(117.1). Это множество траекторий образует когерентную систему, если
ф Уг dxT = 0 (117.6)
для каждого приводимого контура в R. Одноточечная характеристическая
функция в пространстве событий
QT для когерентной системы определяется так:
и (х) = - \ Ут dxT, (117.7)
где интеграл берется вдоль любой кривой в R, от того события, которое раз
навсегда зафиксировано, и до события хг, для которого и вычисляется
функция U.
Выбирая подпространство R односвязной 4-мерной
областью в пространстве - времени и варьируя событие хг, имеем уравнения
(74.8) (в которых изменен только знак):
9U .
Ут = - -- • (117.8)
дхт
Функция U удовлетворяет уравнению Гамильтона -
Якоби,
-^-_j=0, (117.9)
а волны, принадлежащие к когерентной системе, имеют уравнения
U (х) = const. (117.10)
Отметим, что гамильтонов 4-вектор ут есть нормаль
к 3-волне в смысле пространства - времени.
Эт г волны являются волнами де Бройля в смысле геометрической механики.
424
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
[ГЛ. III
§. 118. Скорость частицы и волновая скорость. Согласно формулам (108.9) и
(117.8) нормальная скорость распространения волны U - const равна
Up = -ic . (118.1)
УаУа
Как и в уравнении (108.10), абсолютная величина скорости и удовлетворяет
условию
1_4 = ^Щ-. (И8.2)
и у4
Согласно уравнениям (117.4) скорость частицы есть
- id* _ и д(11а"° . (118.3)
dXi dQ/dyi
Связь между волновой скоростью ир и скоростью частицы vp можно найти (для
любого события хт), исключив четыре величины уг из семи уравнений (117.1)
(118.1) и (118.3).
Для свободной частицы, при наличии уравнения энергии (117.2), согласно
(118.3) скорость частицы равна
vp = ic*L. (118.4)
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed