Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 100

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 124 >> Следующая

теории малых колебаний. Ср. СогЬец and S t е h 1 е [3], гл. 8 (где
имеется большое число примеров систем с малыми и большими числами
степеней свободны); Г о л д-с т в й и [7J, гл. X; У и т т е к е р [28],
гл. VII.
(101.17)
Т - ~2 (?1 + ?2 + • • • + ?лг).
V = - (Xiql + X2ql + ... + XNq2N).
(101.18)
9i "f" ^i?i = 0, ... q^ + ^nQn ~ 0, (101.19)
362
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VIII
в котором переменные разделены. Любое из этих "уравнений имеет следующее
решение (в зависимости от знака числа X, входящего в уравнение):
q = a cos + Ъ sin j/Xt, если X > 0, ) q = at-{-b, если Л, = О, I
(101.20)
q = a ch У- Xt + Ъ sh ]/ - Xt, если X < 0, )
где а и Ъ - постоянные.
Равновесие устойчиво при любом из следующих эквивалентных условий:
I) Все X - положительны.
И) bpaqpqa - положительно определенная форма.
Ill)' V - потенциальная энергия - достигает истинного минимума в
равновесии.
Если одно из чисел X равно нулю или отрицательно, то равновесие
неустойчиво. В случае устойчивости эквипотенциальные поверхности -
эллиптического типа; в случае неустойчивости они либо эллиптические (V
имеет максимум в центре), либо гиперболические, либо цилиндрические.
Предположим равновесие устойчивым так, что каждая нормальная координата
изменяется синусоидально как в первом случае в (101.20). Тогда нормальная
мода колебания есть та, в которой колеблется только одна нормальная
координата, а другие равны нулю, а нормальные частоты vp и нормальные
круговые частоты юр равны соответственно
vP = ^-Kv, С0Р = Vxpi (101.21)
Ал
Если две (или более) из этих частот совпадают, то систему называют
вырожденной1). В нормальной моде изображающая точка пространства Q
совершает гармоническое колебание по прямой линии. Эти пря-
0 Это слово имеет много различных значений; ср. с § 100, где оно
употребляется в другом смысле.
§ 101] ПРИВЕДЕНИЕ ЭНЕРГИЙ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ 363
мые являются главными осями эквипотенциальных поверхностей (101.13),
когда эти поверхности отнесены к координатной системе (q'). В
невырожденной системе эти прямые фиксированы в пространстве. Для
вырожденной системы они частично не определены; известно, что они лежат в
плоскости двух или более измерений (соответственно степени вырождения) и
нормальную моду можно представить на любой одной из этих линий, причем
нормальные координаты в этом случае останутся частично не определенными.
В совершенно вырожденной системе направление нормальной моды колебания
совершенно произвольное. В этом случае эквипотенциальные поверхности
являются сферами в системе координат (q').
При произвольных начальных условиях система совершает движение, которое
есть наложение всех нормальных мод. Вообще говоря, орбита в пространстве
Q есть очень сложная кривая и движение является периодическим тогда и
только тогда, когда отношения нормальных частот - рациональные числа.
Корни уравнения
det (араХ - Ьра) = 0 (101.22)
инвариантны относительно линейных преобразований координат q. Для
нормальных координат, как в случае
(101.18), эти уравнения принимают вид
(X - Xi) (Х - Х2) ...(X - Хя) = 0. (101.23)
Следовательно, Ai, Х2, . . ., XN являются корнями уравнения (101.22). В
самом деле, они представляют собой собственные значения матрицы Ьра
относительно матрицы аро. Если X - какое-нибудь одно из этих собственных
значений, то уравнения
XapoU° = bpaU° (101.24)
определяют соответствующие собственные векторы для любой системы
координат. Из инвариантности этих уравнений легко увидеть, используя
нормальные координаты, что направления собственных векторов совпадают с
направлениями нормальных мод колебания. Так как
364
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VIII
(101.22)-то же уравнение, что и (101.8) (за исключением тривиальных
изменений в обозначениях), то становится ясной математическая важность
простой подстановки
(101.6), которая остается самым практичным методом для исследования
задачи теории колебаний. На вырождение указывает наличие кратных корней
векового уравнения
§ 102. Действие связей. Пусть на систему с кинетической и потенциальной
энергиями вида (101.4) наложены связи
где Ар - постоянные.
Если мы рассматриваем энергии в (101.4) как приближения, справедливые при
малых значениях скоростей и координат, то (102.1) можно считать
следствием любой связи, которая не зависит от времени; она может быть
даже неголономной, так как в линейном приближении не существует никакого
различия между голо-номными и неголономными связями.
Как и в случае (46.15), уравнения движения системы, на которую наложены
связи, таковы:
где '6 - неопределенный множитель. Для того чтобы исследовать движение,
подставим
в уравнения (102.1) и (102.2); исключая величины ар и O', получим
следующее детерминантное уравнение для круговой частоты со:
Таков план практических действий. Но для того чтобы найти соотношение
между частотами свободной системы и системы, подчиненной связям, лучше
использовать нормальные координаты свободной системы, как в выражениях
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed