Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
для всех х. Положим ср = А + г|? и подставим это выражение в
гамильтониан. Допустим, что результат может быть записан в виде
н = я (г|>) = у 2 [и (^1 + h, х2) - ^ (хъ х2))2 +
+ Н (*1, Х2 + К) - Я|) (хи х2))2 + h2 (m2 :^>a:cr(m) +
2 п
+ Як С<4) :гИ:а(т)) + У (^4) >
fc=3 /
где V(A) - постоянная, qk - коэффициент, m = m(A) > >0.
Последнее выражение показывает, что гамильтониан Ж.г(?) содержит часть,
отвечающую свободному
2 П
полю с массой т, а 2 Як ("4) т^к:о(т) - взаимо-
fe=3
действие.
При этом А - состояние локального минимума. Разумеется, А и т должны
зависеть от единственного безразмерного параметра теории к/т^.
102 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Определение 2.13. Пусть существуют непрерывные функции А (к/т$), т (к/т%)
такие, что qjm2-> 0, 3 ^ к ^ 2п, при k/ml-*- °о. Тогда пара A{kjmfy,
называется асимптотическим локальным основным состоянием (а. л. о. с.) с
голой массой пг = = m(k0/ml)-
Определение 2.14. А. л. о. с. (A(k/ml), m (А,//7го)) называется
абсолютным а. л. о. с., если V(A) = min V(A'), где минимум берется по
всем а. л. о. с. А'.
Естественно ожидать, что только абсолютные
а. л. о. с. порождают предельные распределения Гиббса при больших
X!т\.
Сейчас мы выведем уравнения для А, т. Воспользуемся следующим свойством
полиномов Эрмита (см., например, Б. Саймон [41]): пусть Оо > 01 > 0, Е =
= ао - Оь Тогда
•Фл" во ~ :(:ф*:я):<ц.
Положим о0 = о(7?го), Щ = о(т), Е = с0 - Оь При фиксированных то, т
предел lim (о(то) - о(т)) существу-
/i->0
ет и пропорционален 1п(иг/т?го). Можем теперь написать
н Н>) = Y 2 [w> (*1 + h' хг) - У (ж1. *s))2 +
+ И (*i, x2 + h) - ty (хг, х2))2 + h2 (ml :(г|> + A)2:a{mo) +
2 П
-j- % 2 ak :('Ф + А)к-о(т0\
Ь=1 '
(Xi+х^ " ^ х2^2+^ ^ ~
- г|) (хъ х2))2 + h2 :("ф + А)2:Е +
2П ч ч-|
§ 11]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
103
Обозначим = НеР (ф). Тогда из последнего
выражения
2 п
А. 2 "ьМг * (4) = v (Л), (2.55)
ft=l
2т\А + % 2 "ft --irV = °. (2-56)
k=l
" ^ Л/У0 (Л) _
2тп* + А, 2 = (tm)2- (2.57)
Последние два выражения служат для определения А и т.
В квантовой теории поля вначале производится предельный переход h-*0, а
затем исследуется асимптотика X/ml-*- оо. Поэтому все асимптотические
выражения должны иметь смысл при h 0. Положим М = = m2/ml. При %/iriQ->-
оо естественно ожидать, что М-"оо,Е~+оо. Ввиду Н(?} (t) = Ei,hH{k)
(t/E1/2) (2.57) можно переписать в виде
т'ТЬ-1
Е Г5
-2 Н{2п) (А/Е1!'2)
dt2
= 2 М2,
где многоточие означает члены, содержащие Е1/2 в отрицательной степени.
Полагая В = А/ЕУ2, получим в главном порядке
*2
\\^н[2П)(В)
т|j j dt
2М 19 *я\
-^=л' (2'58)
При h 0 правая часть становится пропорциональной Ж2/(1п Ж2)"-1. Уравнение
(2.56) принимает вид
ш(2П) (5)
"." ~ V + • • • = 0. (2.59)
Будем рассматривать (2.58) как уравнение относительно А при известных т,
Е. Обозначим Ь* корни многочлена dH[2n)(bi)ldt, i = 1, 2, ..., 2п- 1. С
помощью обычной теории возмущений легко показать, что (2.59) имеет
решения в окрестности тех bu при которых
104 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
а2н[2п)(Ьг)ш*фО. эти решения имеют вид 5* = = &"•+..., где многоточие
означает члены, стремящиеся к 0 при Е -*¦ оо. Очевидно, что при таких i
для достаточно больших Е будет d2#i2n) (Bi)/dt2 ф0. Локальные минимумы
получаются при таких Ьг, когда d2H[2n) (Bi)/dt2 > 0.
Итак, мы видим, что основные состояния А имеют вид: A =Ell2Bi = EU2(bi
+...). Если подставить выражение для Bi в (2.58), получим замкнутое
уравнение для М
(Д.)
т^ \ dt2
из которого
м\ ~ const •( -)
\ml)L
1 ъ
1п~1
ml
Далее, {А$ ~ const -X
ln"i
, h^O.
n~k/ 2
A-3, .откуда
qh (Ai)/nii -*¦ 0 при X/m0~>0, т.е. (Ell2B\, нц) есть а. л. о. с.
Теперь обратимся к выражению V(Ai). Имеем
V (Ai) = V (E^Bi) ~ (Я<2П) (5i) +...),
откуда
V(\)
v {Ah)~ н<?п) (\)
Мы приходим к важному заключению: абсолютные минимумы V(Ai) соответствуют
абсолютным минимумам #i2n) (?). Известно*) (см. книгу Г. Бейтмен и А. Эр-
дейи "Высшие трансцендентные функции".- М.: Наука, 1966), что четный
полином Эрмита имеет только два абсолютных минимума. Таким образом,
естественно ожидать, что при любом Р и достаточно больших к/то существует
только два трансляционно-инвариантных предельных распределения Гиббса,
отвечающих гамильтониану Н.
*) Мы обязаны этим замечанием Ф. Калоджеро.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 2
105
3°. Полезно привести еще одну переформулировку основной теоремы этой
главы. Рассмотрим вначале функцию действительного переменного I/ = /(;г),
которая имеет г одинаковых невырожденных минимумов я 1, а,2, ..., аг, т.
е. fiai) = fiaf)=f и fix)>f при
..., аг. Такая функция, разумеется, не является функцией общего вида, и
для нее можно построить версальное семейство в смысле общей теории
особенностей (см. [1]), т. е. построить семейство функций y = fix, X),
зависящих от г-1 параметров X = (Xi, ... ..., Хг) так, что fix; 0) =
fix), и пространство параметров X допускает стратификацию, т. е.
распадается на точку X = 0, г кривых, С\ двумерных поверхностей и т. д.,
