Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Тя(<Г, р, Л) (г9) - Tq (<F', р, V) (Г9) I <
<2 2 \bm-b'm\Vm(Tq) +
771=1
+ 2 (ггт + 8 (т' С)) 2 св(ШжГв)Тт (г9) |||^т-^||| <
' ' 771=1
< 2 (Р | й. - ft' | + е (т, с)|||^-^'|||]7(г9) +
+2 (тЬ +е (*'с)) III г - & III у (г9)
| h - h' | = max | h (г|>9) - h' (яр,) |.
Я
Отсюда сразу следует:
III Г 0F, М)-Г0Г',р, Л') |||<
< 2 (-4 + 28 (т, 13) j III _ <F' ||| + 2РI h-h' |. (2.52)
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Предположим, что т выбрано так, чтобы помимо (2.48) и т > Ti выполнялось
еще соотношение е(т, 13)^1/12, если т ^ т. Тогда при h = h' из (2.52)
следует
III Т (<Г, р, h) - Т (<Г', р, К) III < \ III ir - Г' III,
что доказывает утверждение предложения.
Вернемся к доказательству основной теоремы. Из предложения 6 следует, что
для любых р > р и (х е е С/о = 1[х|^е0} существует набор SF = ЗНр, |х)
контурных функционалов iFi, &~г, удовлетво-
ряющих (2.43). Более того, каждый 8Tq является Z-ne-риодическим т-
функционалом, т~-(Зр--1, и из (2.52) следует, что
-?* III ^ (Р. и')Ш < Р \\\% - 4V|||+2p|V-<VI-
(2.53)
Так как XF}1-lF^/ и h-- однородные и линейные функции ц, то (2.53)
означает, что З^Чр, |х) удовлетворяет условию Липшица относительно р • ц
с константой, не зависящей от р. Перепишем (2.44), (2.45) в виде
b=Efl(\x). Из (2.53) и предложения 4 следует, что /?р(|х) удовлетворяет
условию Липшица относительно р • ц. Мы покажем, что при достаточно
больших р отображение Е$ осуществляет гомеоморфизм Uq в Ог, причем
E§Uq zd 70 = /Ь; Ь е Or, max bq <; 1\.
I q )
Чтобы доказать это, рассмотрим систему линейных уравнений относительно ц
К (%) - К (%+i) = 2 Hi [hi ТО - hi
i=1
5 = 1,2, • • •, г 1.
r-1
Поскольку возмущение II = IIо + 2 fli-Hг полностью
i=l
§ 10]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
97
снимает вырождение g(Ho), то {фь фг,.. фд-i, фз+ь...
. . -., фг) = #(#ц) при некоторых р возможно для любого д, поэтому
матрица |] hiq \[=\\Ы (%) - hi (Wq+i) имеет ранг г- 1, и каждое р* может
быть выражено как линейная комбинация разностей /г(ф5) - Ыфд+i).
Подставляя это выражение в равенство
рМфд) - рМфд+i) = bq - bq+1 + s(iFq) - s(@~q+1),
мы получаем систему нелинейных уравнений для нахождения отображения,
обратного к Е$\
г
pi - ~о~ 2 s ?))' (2.54)
Н д=1
коэффициенты aiq зависят только от величин /Мф9), i = 1, 2, . .г - 1; д =
1, 2, . .г, а - функция
от Pp. Предположим, что ?р(р) = /?р(р/) для некоторых р, р'е^То. Из
(2.49) и из предложения 4 следует, что
| р - р' |< L (Р) | р - р/ |, lim L (Р) = 0.
(З^ЭО
С другой стороны, по предложению 3 lim s (&~q) = О
(3~> X)
равномерно по_ \x^U0 для всех д. Поэтому мы можем
выбрать Ро ^ Р так, что Z,(p) < 1 при р > Ро, и правая часть (2.49)
отображает Uq в себя для всех Ъ е ?70 и р ^ р0. Это доказывает наше
утверждение. Для вывода последнего утверждения основной теоремы нам
остается только заметить, что отображение
\, ЗГ2, ..., @~г) = ?F(p, р) определяет т-функционалы &rq для тех д, для
которых bq = 0, порождающие контурные модели, которые соответствуют
предельным распределениям Гиббса, отвечающим рН^. Для них распределение
внешних контуров такое же, как и в соответствующей контурной модели,
поэтому из предложения 2 следует, что различные фазы сосуществуют в
соответствии с фазовой диаграммой, описанной в основной теореме 2.1.
Предложение 6 является основным при доказательстве теоремы. Оно связывает
контурные модели и контурные модели с параметром с решетчатыми моделями.
Оказывается, что статистические суммы
98 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Z(Plp#n) при всех Г9 в точности равны статистическим суммам либо
соответствующей контурной модели, либо соответствующей параметрической
контурной модели. Этот факт представляется довольно неожиданным, но
именно его обнаружение открыло путь к доказательству основной теоремы. С
другой стороны, предложение б содержит в себе условие равновесия фаз.
В самом деле, рассмотрим такой набор параметров ц, когда bq = 0 при всех
q = 1, 2, г, т. е. когда все статистические суммы равны статистическим
суммам соответствующих контурных моделей. Возьмем какой-либо контур Tq.
Тогда естественно представить себе, что в Intm (Г9) содержится т-я фаза и
Tq есть граница раздела фаз. Возьмем конечный объем Wq с граничными
условиями вне Wq и оценим вероятность внешнего контура Tq <= Wq.
Фиксируем конфигурацию q>(Wq - (Int Tq U Г9)) вне Tq. Тогда
статистическая сумма по конфигурациям внутри Г9 равна в силу предложения
6
/(,,)У(Г"}2 (г,! №) _ e*("!mr,)z (г,! ^
С другой стороны, при той же <$(Wq - (Int Tq U Г9)) статистическая сумма
по конфигурациям, у которых все внешние контуры лежат либо в Int Г9, либо
вне
WWr*)
I9, отличается множителем е от разрежен-
ной статистической суммы Z( Г91 [}#,*), которая в силу леммы 3 и
предложения 6 равна Zq(Tq\&~q). Отсюда получаем^ что вероятность внешнего
контура Г9 не превосходит Z(Tq\@~q)/Zq(Tq\$~q). Если &~q - т-функ-цпонал,
то последнее выражение не превосходит ехр {-const • т|Г9|}. Более трудно,
