Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
используются контурные модели так, что для каждой фазы совместные
распределения внешних контуров в точности совпадают с соответствующими
распределениями в подходящим образом подобранной контурной модели.
Поэтому предложение 2 может быть переформулировано в том смысле, что
чистая фаза характеризуется как малое возмущение соответствующего
основного состояния.
Контуры, как и ранее, определяются по отношению к множеству периодических
основных состояний исходного гамильтониана Но, Z обозначает наиболь-
92 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
шую подгруппу Zd, такую, что все основные состояния и гамильтонианы Я0,
Яi, ..#r-i Z-инвариантны.
Рассмотрим теперь малое возмущение Н" = Я0 + + \i\H\ + ц2Я2 +• • •+ \ir-
\Hr-\ основного гамильтониана Я0. Энергия контура Г9 может быть разложена
следующим образом:
Нц (г9) - V" (г9) + S (г|>т) - К (Ч,,)1 Fm(r9),
т=1
(2.41)
где 4я д - контурный функционал, определяемый соотношением (2.41), /^(фт)
- удельная энергия фт по отношению к Н". Для ц = 0 мы получаем Чго(Г9) ==
= #о(Г9) из леммы 1, а по предположению Я0 удовлетворяет условию
устойчивости Пайерлса Я0(Г9) ^ ^р|Г9| с положительной константой р (см.
определение 2.3). С другой стороны, Яь Я2, . .., Нг-\ определены
посредством ограниченных локальных гамильтонианов, так что существует ео
> 0, при котором
14V (г9) - н0 (г9) | 1 г91,
если
| ц I = max | щ | < 80,
1
откуда следует
Чги(г9)>-у | г9| при | р | < е0. (2.42)
На основании леммы 2 мы можем предположить, что ео > 0 так мало, что
помимо (2.42) выполняется также и соотношение g(H) cr g(H0).
Предл о же ни е 6. Существуют такие константы т>0 и во > 0, зависящие
только от Яо, Я i, . . ., Яг, что для любых ц, т, [}, таких, что |ц1 ^
Ео, т > т, j} ^ ^ р = 2(т + 1)/р, существует и единственно множест-во Z-
периодических т-функционалов
0ГЬ ^2, . . , ?%),. ^-3^(Г9),
§ 101 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
93
таких, что для любого Г9 е
Z (Г31 рЯц) = ехр [6gF (r3)].Z (Г91 <Г9). (2.43)
Здесь
bq = (г|)д) - s g) + a, q = 1, ..., г, (2.44)
а а определяется из равенства
min bq = 0, (2.45)
т. е. Ъ = (&ь . .Ьг) е Ог. Более того, это единственное решение
непрерывно зависит от параметров р и
ju в слабой топологии.
Доказательство. Заметим, что при заданных Р и (2.43) задает систему
уравнений относительно Для доказательства существования единственного
решения мы перепишем (2.43) в виде ^'=ргРц + + р, ju), где Ч^ОВД1),
Ч'ДГ)), а Г -
сжимающее отображение при малых |р,|, р-"1. Действительно, сравнивая
(2.43) и определение 2.12, можно получить из (2.43)
Zq(y\§Hv) = Z{V\2rq,bq) (2.43')
и, подставляя (2.43) и (2.43') в (2.18), написать ехр \bqV (r9)]z(r9 |
#"g) =
= exp [- ря^ (Г9)] П 2 (Intm Г91 grm, bm). (2.46)
771
Уравнение (2.46) эквивалентно (2.43). С другой стороны, используя (2.20)
и разложения предложений 3 и 5, мы имеем:
111 Z (Г9 | ЗГд) =
= •"> q) V (г9) - q (Г9) A (lntm Г9| <Г");
т
In Z (lntm Г9 I rn, (>m) =
= [S in) 4- bin] Vm (Г9) 4- A (lntm 1 9 | 3~m> bm),
94
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
и соотношение (2.46) перепишется в виде:
+ S (" V (Г9) - ЗГд (Г9) + ? A (Intm Г91 $~q) =
771=1
= - рЯ" ( Г9) + ? [s (<Fm) + Ь"] Fm (Г9) +
m-1
+ ? A (lntm Г91 ут, ЬГп). (2.47)
777 =1
Окончательно, используя (2.41) и (2.44), получим
0"(Г") = ^"(Г9) + Tq{§-, р, h"), (2.48)
где йц= (M^i), • • ч Mtr)) и
Тд(^, Р, Лц) =
= ? [A (lntmr9| q). - A (lntm Г9| &"т, &т)]
777 = 1
- функционал на Фд; мы рассматриваем Ъ как функцию от ЗГ, р и
определяемую (2.44) и (2.45). Введя обозначение Т = (Тi, Т2, .. Тг), мы
можем сокращенно переписать (2.48) в виде:
& = $% + ? (?-, р,^), (2.43")
и hи - линейные функции от ц. Уравнение (2.43") снова эквивалентно
(2.43), и, как легко следует из
(2.43), (2.18) и (2.20), любое периодическое решение
(2.43) обязательно является Z-периодическим. С этого момента мы
предполагаем, что ео достаточно мало для выполнения леммы 2 и соотношения
(2.42), и рассматриваем (2.43") как уравнение в банаховом пространстве В
Z-лериодических контурных функционалов ЗГ = (ЗГ\, ЗГ2ч . • ЗГг) с нормой
||| ЗГ HI = = max ||| ЗГ q |||, где константа с, участвующая в опре-
q
делении ||1^д|||, равна 13.
Обозначим через Вх множество таких контурных функционалов ЗГ с= В, что
каждая компонента 9ГЧ является т-функционалом на соответствующем Фд.
Ясно,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
98
что Вх - замкнутое, выпуклое подмножество В. Мы покажем вначале, что (рФц
+ Т) отображает Вх в себя, если ти^ достаточно велики.
Действительно, пусть х\ > 0 так велико, йто йы-иолняются предложения 1-5
для т ^ Т[. Тогда, используя (2.39) и предложение 3, получаем
тчOF, Р, К) ^ - 2е (Z, т) ? I д (Int* Г") I >
т=1
>-2-9de(Z, т)|Г9|, т^т*. (2.49)
Выберем т таким большим, что т > Х\ и прй т > т
2 • 9de(Z, т) < 1. (2.50)
Далее, если Рр > 2(т +1), х^ти^е J?t, то
P4V (Г9) + Гд ОТ, р, /М > т | Г91, (2.51)
т. е. р^+ГеД,, так как Фйе=Д, ПЗ? р, ijefi, что следует из (2.39).
Заметим теперь, что предложения 4 и 5 дают
