Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 27

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 61 >> Следующая

00
In Z(V I <П = f S ST (Г) PV (Г, t) dt. (2.35)
1 rev
§ 9] КОНТУРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА 87
Для вычисления правой части в (2.35) необходимы следующие оценки,
получаемые из предложения 1 и леммы 5:
ДПТ|^)= С 2 ST (Г) | ру (Г, t)-p(T, t)\dt<
1 ГСП
00
< f 2 9- (Г) ехр [а | Г | - tP (Г) + (a-tx) d(T, V)]dt =
1 ГС У
= У ---------=- ехр [а | Г I - дг (Г) +
Г^У Т (Г) + %d (Г, V) 1 1 v '
+ (d-T)d(r,V)]< 2 ехр[(а-т)(|Г| + й(Г, F)))< rev
оо оо
< I dV I 2 2 (2ft + l)d ean exp [(а - t) (n + fc)] <
k-Q n=1
^|5Fj exp \2a - %]. 3g
(1 - exp [2a - x])
Далее, пусть N -- индекс подгруппы Z, тогда
00
A2(F|<T)=f 2 <r(V)P(T,l)di^
1 d(T,dV)<N
00
< f 2 Т (Г) e-^dt < 2 е_т|Г| <
1 d(T,dV)^N d(T,dV)<N
oo
< | dV I (2 N + l)rf 2 eUl~%)n = \dV\ (2.37)
n=l 1 ~~ e
Что касается (2.35), то
00
]n.Z(F|^-)<f 2 ^(Г)е_^(Г)Л<
1 r<2V
оо
< 2 e_T|ri<|F|2 e(a_T)n = | F|
Д'СУ
i-e'
,a-T*
88
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Рассмотрим разложение
сю
lnZ(F|<F)= [ 2 ?-(Г)р(Г, t)dt
геи
оо
2 (Г) (Pf (Г, t) - p (Г, t)) dt.
TCV
Вторая сумма ограничена по модулю АДУ!^), а относительно первой суммы
можно считать, что в нее входит точно \V\/N контуров из каждого класса Z-
конгруэнтных контуров (контуры Г' и Т" называются Z-конгруэнтными, если
существует z ^ Z такой, что T"=TZT'). Сумма этих членов дает \V\s{@~), а
сумма остальных слагаемых (положительных или отрицательных) ограничена
Д2(У1^~). Это доказывает предложение.
Далее,
е
: N (i - е^У
| А (У | ?Г) 11 3F | ^ (F | дг) + А2 (У | дг).
Изучение дальнейших свойств Z{V\ЗГ) потребует введения новой нормы для т-
функционалов. А именно, возьмем константу с > 1 и положим
|||аг|||°8;р(|г'+у?г!)-?ш'
где б(Г) = diam (supp Г).
Предложение 4. Если ST и ^'--периодические т-функционалы, т > а + In с,
то
| *(&¦)- S {&-') | < 6 (т, с) III дг _ gr> III,
где lim г (т, с) = 0, с фиксировано.
Т->оо
Доказательство. Достаточно доказать, что | In Z (У I дг) - In Z (У I &•')
|< 8 (т, с). | УI. Ill Т- Т' III. Но из неравенства Пайерлса следует:
dlnZ(V\^)
, - /г\ ^ л-^г)
§ 9] КОНТУРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА g$
и 2F = tST + (1 - iiST' - снова т-функЦИОнал. Поэтому I In z (VI дг) - In
Z (VI gr>) | < 2 е'-т|Г||^(Г)-^/(Г)К
ГС У
< III Г - III 2 е~т|Г| (| г | + V (Г)) сад*<
ГСУ
оо
< I V | III &¦ - &¦' III S (п + nd) cVa-T)n,
71=1
так как б (Г) < |Г|, |F(DI<lrld, и предложение доказано.
Определение 2.12. Пусть b > 0, ^--т-функционал на 'б'д, тогда
Z(F|<T,b)=2 П еЬУСГ)е^(а)
acv геО(а)
называется параметрической контурной статистиче--ской суммой.
Легко видеть, что Z(F\&~, 0) = Z(V\&~), и так как Ъ > 0, 0 < F(D < I V\
при Г <= V, то
Z(VI0-)^Z(VI&-9 Ъ) < Z(V\3T)eblvi.
Для Z-периодического т-функционала 3F мы получаем из предложения 3
-ЫУ|+"(Z, x)\dV\ <
<lnZ(V\9~, b)-(s($~) + b)\V\ ^e(Z, t)!3FI, (2.38)
где e(Z, т) определяется в предложении 3. Более полное описание свойств
параметрической контурной статистической суммы дается в следующем
предложении.
Предложение 5. Определим A(F|?T, Ъ) для периодического т-функционала ЗГ
соотношением
In Z(F|?T, b) = (s(&~) + b)\V\ + A(F|<F? Ъ).
Если ЗГ' и ЗГ"-периодические т-функционалы? т>а + 1пс, Ъ1 Ъ' > 0, то
| A (F | Ъ') - A (F | ЗГ", 6")|<
< 21 Ъ - V 11 F | + + е (т. с)) сб(у> | V11|| ^'-<Г|][,
где е(т, с) определяется в предложении 4.
go фазовые диаграммы решетчатых систем [гл. 2
Доказательство. Мы рассмотрим только два Ластных случая: Ъ' = Ь" и ЗГ'
^&г". Во втором случае имеем:
д in z (У\зг, Ъ)
оъ
<\v\
а отсюда немедленно вытекает утверждение предложения. В первом случае:
А (V | g~', Ь) - A (F | <Г", Ь) | < | s (.'Г') - s (&•") | i V | -I-+1 In
Z (V | gr\ b) - In Z (F | <F", b) |. Из предложения 4 следует
I S {&•') - s (g~") I < e (T, c) III &•' - gr" III, и нам остается
доказать, что |ln Z(V\gr', ь) - In Z (У | gr\ b) | <
(2*39>
Пусть рД-l/F, b) - вероятностное распределение на множестве границ д <=
У?
pv(a|^-,b) = Z-1(F|^'1b) П еьпт)е~^д\
refl(O)
Легко проверить, что
d\nZ{V\!T, Ъ) V " /-л ^ "\
йГТГ) = ~Z Pv (д\^> ь).
4 ' red
In Z (F | g~', Ь) - In Z (F | g~", 6) =
= - 2 2, Pv(d\F, b) (<F' (Г) - gr" (Г)), гсу аэг
где gr = t&~' + (1 - t)&~" для некоторого t, (XisSl,
-2 2 Pv(d\ ЗГ, b) ($-' (Г) - gr" (Г)) =
гсу rea
= - 2 Pv (d\ ?, b) or' (d) - gr" (d)),
dCV
откуда получаем
| In Z (У | &) - In Z (У | b) | ^
§ 10]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
91
Остается доказать, что
а (У) = max А, 2 (I Г | + V (Г)) сб(Г> < (2.40)
dCV I I rea
Обозначим у (n) = max а (У), тогда
6(VKn
S (|Г| + Т(Г))сб(Г)< геа
< 2 (I Г| -f F(Г)) сб(Г) + S F(r)a(Intr)<
геа(а> геа(а)
так как б(Г), 6(IntD < б(У) - 1, если Г <= У,
а 2 (I Г I + У (Г)) ^ | У| при 3 с= У. Мы получаем ГеО(а)
a(F)<c6(y)_1 + у (6(F) - 1).
Отсюда следует
Y (n)< с"-1 + y (" - 1),
Y(n)<cn_1-f сп"а + ... +с +
откуда немедленно вытекает (2.40).
Доказательство закончено.
§ 10. Доказательство основной теоремы 2.1
Основная идея доказательства состоит в описании статистических свойств
чистых фаз, соответствующих периодическим основным состояниям. Для этого
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed