Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
паи
<г V Гк ^ Zj М
Zj Ьндц ft---о
S *(rt~c)n
[l - en~c\~m. (2.27)
Во втором случае d(d\ W) ^ d(9, W), что возможно, только если b(d')>2d{d,
W) - 2d(d\ W), где
6 (O') = max | Г' |. (2.28)
Г'еэ'
Поэтому имеем -cnei *=1 v~e '
,<i-c \k-l es(a-c)
5'c[a]
6(a')>s
= cs(a-c)||5||[l-ea~c]H,a:l. (2.29)
Полагая d(d', WO = p и применяя (2.27) и (2.28) к первой и второй части
суммы в правой части (2.26), мы получаем
1(46) (5) к _
< ехр [- gr (д) + (а - т) d (д, W)][ 1 - е2а-г]~И _|_
d(d,W)~ 1
+ [|d||[l-e2''-T]H,aile-^(S) 2 exp[2(d(3, W) - р) х
р-О
X (2а - т) + р (а - т)] < [l - е2'1-'']"" х Х 1 + ыр[а\\д\\-g-(d)+ {a -
T)d{d,W)].
Мы можем теперь описать слабый предел
p(.|?-)= limpv(.|?-), (2.30)
У->оо
V сю, как обычно, означает, что V = Уп, ft = = 1, 2, . ..,-
последовательность конечных подмножеств Zd такая, что lim d (х, Vn) = 00.
р (• | gr) будет
П-> оо
вероятностной мерой на о-алгебре, порожденной цилиндрическими множествами
Dr, Г е
84
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ (ГЛ. 2
Предло жение 1. Пусть - т-функционал, т > т0. Тогда для любой конечной
границы d^D0 существует корреляционная функция в бесконечном объеме р(9)
= lim py(d), V-><*>, 'р удовлетворяет неравенству Пайерлса
Р(0)<е-(tm)>
и
| р (д) - ру (д) | < ехр [(а - т) (| д || + d (д, F))],
если д с= V, а и т0 обозначают константы, введенные в леммах 5 и 8
соответственно.
До к а з а т е л ь с т в о. Мы определим р как решение уравнения р =
+ Так как ИЛИ < 1,
lie II ^ е~9а, то р единственно и задается выражением
Р
= 2 Апе~(2.31)
п=0
-<г
С другой стороны, pv = %уе + Xv^XvPv- Так как %v - проекция, то
%vp - pv= lvA{p - Xrp) + XvM%vp - pv),
и так как %vp - Pv - опять неподвижная точка, то
оо
XvP - Pv = 2 (lvA)n (%vAp - tvAxvp). (2.32)
71=0
Для оценки нормы r\ = %vAp - %vA%vp заметим, что (p - %vp)(d') = 0 при
d'aV и (p - %vp)(d') = = p(d') при d' cz V. Во втором случае, д' a [д]
влечет б(D') > 2d{d, У), и из (2.29) мы получаем
1л(0)К*_5Г(в) 2 I (р - х^р) Ю | <
Э'С[9]
< IIРIIII91 [1 - е2а-т]~т ехр [2d (д, V) (2а -x)-gr (3)]<
< IIРIIII51
1 _ e2a-Tj
так как т > За. Это означает, что
ехр [а[| д I -gr (3) f (а-т) d (d, F)],
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИЙ
85
т. е.
II XvP - Pv hr < е~9а (1-\\ А1(1-|| А Цу)-1,
отсюда сразу вытекают утверждения предложения 1.
Следующие результаты показывают, что контурные модели описывают малые
возмущения основного состояния.
Предложение 2. Если т > т0 для т-функционала ЗГ, то существует слабый
предел
=limpv('\&~), V оо
и
р{х е Int Г, 1Г1 =?г\ЗГ)^е{2^}п (2.34)
для любого х ^ Zd. Более того, если й(д) - множество внешних контуров в
бесконечной границе д ^ Д,, то Ь'(д) полно с вероятностью 1 в том смысле,
что любой контур из д лежит внутри единственного внешнего контура.
Поэтому средняя плотность точек в общей внешности всех внешних контуров
стремится к 1, когда т стремится к °°.
Доказательство. Так как число контуров в конечном объеме конечно, то D -
компактное метрическое пространство и существование р(- \ЗГ) = = lim pv{-
\2Г) - прямое следствие существования предельных корреляционных функций.
Фиксируем х е Zd и прямую L с= Zd, проходящую через х. Тогда х Ф Int Г, Г
е Цд возможно только, если d(L, supp Г) < < 1. Поэтому, из леммы 5, число
контуров таких, что х е Ext Г, | ГI =лг, не может превышать пеап ^ е2ап,
откуда следует неравенство (2.34), так как по неравенству Пайерлса р(Т) =
р(Г е д\ЗГ)
Предположим теперь, что мы имеем бесконечную последовательность контуров
такую, что supp Гп Ext Гп-ь I Гп+11 ^ 1ГП1, и существует точка x^Za
такая, что х е Int Гп U supp Гп для любого п. Так как 2оо, применяя лемму
Бореля - Кантелли,
п
получаем, что такая ситуация осуществляется только с вероятностью 0, т.
е. й(д) корректно определено и полно. Последнее утверждение предложения
следует непосредственно из (2.34).
86
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СЙСТЕМ (ГЛ. 2
Как мы увидим, чистым фазам, являющимся малым возмущением основного
состояния г|)д, будет отвечать т-функционал ?Tq такой, что Z(Tq\$H) = -
Z{Tq\STq) для всех Г7, причем т пропорционально р.
§ 0. Контурная статистическая сумма
В этом параграфе мы получим некоторые оценки для Z{V\3~). Они понадобятся
при отождествлении кристаллических статистических сумм чистой фазы и
соответствующей контурной модели.
Предл о ж е и и е 3. Пусть Z - подгруппа конечного индекса Zd. Мы
рассматриваем Z-периодические т-фуикциоыалы, т > То. Тогда справедливо
следующее представление для Z (П| дг):
In Z (V | &•) = 5 {дг) | 71 + д (V | дг),
т \nZ(V\T) т/ s(<F) - lim -\ оо
К-^ОО I У 1
в смысле Ван-Хова, т. е. 0. Остаточный член
A{V\@~) удовлетворяет неравенствам
|A(K|<T)|<s(Z, т) | dV |, lim s (g~) - 0, lim s (Z, t) = 0;
X->oo X->-oo
оба соотношения выполняются равномерно по т-функ-ционалам ST.
Доказательство. Пусть ёГ t = 1. Вве-
дем вероятности /?у(Г, 0, р(Г, t) того, что граница д содержит контур Г.
Заметим, что
-- = - 2^(Г)Ру(Г^)
гсу
и lnZCFI^oo) =0, так как пустая граница также принадлежит Dq. Поэтому
