Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
на Д определяемых соотношением
Pv(3) =Xv(d)Z-i(V\&-)e-2r(9) ,
называется контурной моделью.
Лемма 4 для контурных моделей может быть переформулирована так:
Лемма 6. Разреженная контурная статистическая сумма выражается через
кристаллическую статистическую сумму при помощи равенства
Z(V\$~)=2J] Z(T\$~), (2.19)
red
где суммирование ведется по всем границам д с= У, состоящим из внешних
контуров (по отношению к д). Для кристаллической контурной статистической
суммы
Z (Г I &¦) = в-^г> П z (Intmr I Т). (2.20)
771=1
Контурные модели выглядят как очень частный класс взаимодействующих
систем. Более точно, взаимо-
80
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЁТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
действие происходит только благодаря тому, что не каждая конфигурация
контуров образует границу. Естественно ожидать, что при больших т
контурные модели имеют "хорошие" корреляционные функции.
Определение 2.11. Корреляционная функция рЛд) границы д есть TV-
вероятность события, состоящего в том, что д является подмножеством
границы, т. е.
ру(5) = ^Х ^МЗ).
d(ED,dс д
JI е м м а 7. Корреляционные функции контурной модели удовлетворяют
неравенству Пайерлса
Pv {д) ^ е~ЗГ(д)
и уравнениям Кирквуда - Зальцбурга
|[д]|
1+ s (-1)18'1 2 М"')
|3'|=i о'см
(2.21)
Д о к а з а т о л ь с т л о. Из определений имеем
р у(д) = е~(tm) 2 Ру(д') =
9U 9'ЕЬ 0П0' - 0
-8~(д)
Pv(5) = Kv(d)e
е
1 - X Pv (?)
d'\d{Jd'&D
Отсюда немедленно следует неравенство Пайерлса,
так как дРд'ФО тогда и только тогда, когда [д] П
Пд'ФО, т. е. д' е= U Dr.
ге[д]
С другой стороны,
Pv {дг) - Р v ^гу
и, используя известное выражение для вероятности суммы событий, мы
получаем, что
2 Ру{д') = Ру{ U Яг) = а':эи э'ев 1ге[Э] j
\Ш
= 2 (-i),a1+1 2 ру(з'),
I0'l=i e-c[aj
что доказывает (2.21).
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
81
Изучение корреляционных функций основывается на уравнении (2.21). Методы
изучения аналогичны методам, применяемым для изучения распределений
Гиббса при малых [5 или малых плотностях. Основной вопрос - поведение pv
при V t Zd (в смысле Ван-Хова). Этот вопрос решается в следующем
параграфе в предположении, что модель задается т-функциона-лом ЗГ с
достаточно большим т.
§ 8. Корреляционные функции для контурных моделей в бесконечном объеме
Мы рассматриваем правую часть (2.21) как оператор в банаховом
пространстве граничных функционалов. Граничный функционал ? = ?(9) - это
действительная функция, определенная на множестве D0 = = {д: d^D, lldll <
">} конечных границ. Множество граничных функционалов образует линейное
пространство, включающее II9II, |9| и т-функционалы, аддитивно
расширенные на D. Пусть а обозначает абсолютную константу в лемме 5. Так
как 2 и 1Ф1 >2, то е~а ^ 2~22.
Пусть даны т-функциопал 9~ с т > За и конечное подмножество W с= Zd
(допускается W = 0). Мы введем следующую норму \\%\\w граничного
функционала ? так:
'I ^ ~ 0CD0 ехр [а || д || - !Г (д) + (а - т) d (д, W)Y
где
d (д, W) = min d (supp Г, W), W = 7/' - W.
re a
Каждая такая норма определяет банахово пространство 3tw граничных
функционалов. Правая часть уравнения (2.21) определяет оператор А на
граничных функционалах, действующий по формуле
IC01I
(At) (д) = е~*(9) 2 (~1)1а| 2 1(д'). (2.23)
|Э'|=1 а'с[а]
%v = %v(d) и е~^ = е <?Г(0) являются граничными функционалами, по будут
также интерпретироваться как
82
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
мультипликативные операторы. Используя введенные обозначения, уравнение
(2.21) можно записать в виде
I = %ve~^+ XvAxvl, V cz Z(l конечно. (2.24)
Корреляционные функции рЛЗ) удовлетворяют (2.24). Решение уравнения
% = е-* + А% (2.25)
будет интерпретироваться как корреляционные функции в бесконечном объеме,
так как мы докажем, что р = lim pv существует при V t Zd, где V пробегает
по-
°° d
следовательность V\, V2, ..., Vn, ... и (J V{ = Z
i=1
(или, более общо, V пробегает последовательность V\, V2, . .., Vn, ...
такую, что lim d (х, Vn) - оо для лю-
П->оо
бого х <^Zd).
Лемма 8. Существует абсолютная константа т0>3а такая, что IIЛII w ^ 2~10
для любого W, если дг - т~функционал, и т > т0.
Доказательство. Предположим, что H|Hw ^ 1. Тогда
(Л1) (3)|<
<<Г^(а) 2 exp[(a-T)(|0'|| + d(d',iF))l, (2.26)
д'С[д]
так как STid') > %\\д'\\.
В зависимости от того, верно или нет неравенство did', W) > did, W), мы
разбиваем сумму на две части, во второй части d' содержит большой контур.
В обоих случаях мы оценим сумму 2 е~с11д", дг а[д], и во втором случае мы
получим нужную оценку для |тахГ|, Гей'. Эта оценка может быть получена
так.
Пусть \d'\ =к фиксировано. Выберем к различных точек х\, х2, ..., xh из
множества М = U supp Г, Гей. Выбирая контур Г* так, что d (xi, supp Г*)
<11, каждую границу d' с= [д] можно получить как d' = = {Гь Г2, ..., Th).
Так как М - объединение больших кубов и контуры в d' далеки друг от
друга, то мы видим, что IcTj^lldll, если d'^ldl. Поэтому, используя
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
83
лемму 5, получаем при с ^ а
ЦдЦ к
2 "'*''<2 с8"Щ 2
д'С[д] к=1 г-1 \?*(Х|,Г|)ч?1 /
