Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
внешние контуры имеют одно и то же граничное условие. Все последующие
доказательства этой главы основаны на свойствах следующих вариантов
статистических сумм.
Определение. 2.7. Обозначим через ШГ7) множество конфигураций ф, ф =
,фд(а. s.), для которых Г7 является единственным внешним контуром ф;
тогда
Я(Гв|ря)= 2 ехр{-р Я(СРЬУ}
ф?0(г9)
называется кристаллической стати стическо и суммой для Г7.
Определение 2.8. Пусть У - конечное подмножество Zd. Обозначим через
Qq(V) множество таких конфигураций ф, ф = 'фд(а. s.), что Г <= У, если Г
есть контур дф; тогда
Zq(V |рЯ)= 2 ехр { ря (ср | фц)}
Ф ейд(У)
называется разреженной статистической суммой в У. Z(Г7|р/Л и Zq(V\pH)
связаны друг с другом следующей системой рекуррентных уравнений.
Лемма 3. Для каждого конечного У <= Zd
М7|ря) = 2Ш(г?|ря), (2Л7)
i-l
где сумма берется по множеству всех возможных семейств {Г?,. • Тп\
внешних контуров в У т. е. Г* с: с: У, 1 гс и Г? с: Ext.
Т% У} d Ext П, если i Ф у.
Условимся считать, что произведение по пустому семейству равно 1.
КОЙТУРПЪШ модктти
77
Для контура Tq имеем Z (Г9| ря) - ехр [- ря (Г9)] П Zm (Intmr91 р),
(2.18)
т-1
где II (rq) = Н (фгд | tyq) - относительная анергия Г7.
Лемма 4. Пусть даны функции Z(Tq) на множествах йд контуров с граничными
условиями г|^, 1 ^ q ^ г, и Zq{V) определяется с помощью системы (2.17)
по Z{Tq). Если величины Z(Tq) и Zq(V) удовлетворяют системе (2.18) для
любого контура Г5, то Z(P0 =Z(Tq\$H) на йд.
Доказательство этих лемм тривиально, но они очень важны, поскольку
описывают системы рекуррентных уравнений для Z{Tq\$H), в которые входит
функционал //(ГО. Как будет показано, благодаря условию Пайерлса для
больших [} эта система уравнений может быть записана в виде сжимающегося
оператора в соответствующем банаховом пространстве функций на йд; это и
будет основным средством доказательства теоремы.
§ 7. Контурные модели
Для исследования системы рекуррентных уравнений, которым удовлетворяют
Z(Tq\$H), мы будем применять теорию контурных моделей. Контурная модель -
это система вероятностных распределений па множестве границ, образованных
согласованными наборами контуров с одинаковыми граничными условиями.
Оговоримся, что согласованному набору контуров не обязательно должна
соответствовать конфигурация, граница которой и есть этот набор контуров,
но внешние контуры границы будут внешними контурами конфигурации. Более
точно, пусть йд - множество контуров с граничным условием фд. Мы будем
говорить, что контуры Г', Г" согласованы, если d(supp Г', suppT//)>l. В
частности, может быть так, что Г" <= Intm Г', m?= q.
Определение 2.9. Конечное или счетное подмножество д <= йд называется
границей, если любые два контура Г', Г"<=д согласованы. Множество всех
границ обозначим через /), [<Д - множество контуров, которые не
согласованы с некоторым Г е д, \д\ обознача-
78
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
ет число контуров в д, |]<3jj- 2 1Г|, dczV, где У -*
iea
подмножество Zd, означает, что Г <= V для всякого Г ^ <9,
(1, daV,
= \о, дф V.
Пустая граница тоже принадлежит D.
Dr = {д: Ге9}- множество границ, содержащих Г е {}q. Следующая
комбинаторная лемма будет часто использоваться в дальнейшем.
Лемма 5. Пусть х ^ Zd фиксировано. Тогда существует константа а > О,
зависящая только от размерности решетки и IФI, такая, что
|{Г: йд, Isupp ГI = /г, d(x, supp Г) ^ 1} 1 ^ еап.
Доказательство. Мы будем подсчитывать число связанных множеств М = supp
Г, так как число возможных конфигураций на М не больше, чем \Ф\п. Пусть,
как и прежде Wiix) - шар радиуса i с центром в точке я, НМ) = dWiix) П М,
ЫМ) = {х} П М9 кг=\ ИМ) I. Поскольку М связано и п ^ 4,
П - 1 71-1
jlf = LJ ММ), п= 2 hi.
г=0 г-О
Множество ИМ) может быть выбрано не более чем 22кг-1+2кг d г СП0С05ами?
если и заданы, к0 однозначно определяется ЫМ). Связность означает, что
kj(M) = 0 при / > п. Поскольку число разбиений
п- 1
п = 2 не больше, чем 2n+1, то число контуров, рас-г=0
сматриваемых в лемме, не превосходит
| Ф |n2n+1dn П 22(Ai"1+fti) < const • | Ф |"2(3+Ind)n.
г=1
Поэтому а = In IФI + 3 + In d + const удовлетворяет условиям леммы. Лемма
доказана.
Мы рассмотрим теперь действительные функционалы {F = ?Г(Г) на йд с нормой
mi=?up|i~rf-,
2Г называется т-функционалом, т > 0, если ^(Г) ^ хIГI.
КОНТУРНЫЕ МОДЕЛИ
79
Аддитивное расширение
$~(д) = S ?"(Г), у(0)=О, d<=Z)
red
тоже удовлетворяет неравенству &~(д) > т11дИ, которое здесь играет ту же
роль, что условие Пайерлса. Контурный функционал ^-периодический, если
существует такая подгруппа Z <= Zd конечного индекса, что ?Г(ТХТ) = для
любого x^Z,
ТХТ = (ТХМ, Тхф (М)), ТХМ = {у: у = х + * <= М},
Г = (М,Ф(Щ.
Определение 2.10. Пусть ^ - т-функционал на Определим разреженную и
кристаллическую контурные статистическуе суммы, соответственно,
соотношениями
z (VI gr) = 2 е-0Г(9),
аск
Z (Г I &¦) = в-*-<г> 2 е"^(а),
а:гса, r'cintr
для любого Г'Сд,Г'=?Г
где V cz Zd - конечное и Гс Множество вероятностных распределений Ру(д)
