Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
фазы, являющиеся малыми возмущениями этих основных состояний.
Доказательство. Из теоремы 2.1 следует, что, по крайней мере, одна чистая
фаза, связанная с г|)1 или 'фз, есть. Поскольку г|)ь грг - периодические
основные состояния с периодом 2, то эта чистая фаза также будет
периодическим распределением вероятностей (см. далее предположение 6).
Сдвигая его, получим другую чистую фазу.
§ 6. Контуры
Каждое предельное распределение Гиббса, связанное с основным состоянием
строится как слабый
предел условных распределений Гиббса с граничными
74
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
условиями cp(Zd - V) = \|)(Zd - V) при V Граница
конфигураций играет важную роль в изучении этих распределений, так как
Жф|г|)) является в действительности функцией пары (Зф, ф(йф)). Анализ
предельных распределений Гиббса, о которых идет речь в теоремах 2.1 и
2.1х, основывается на исследовании границ раздела между областями,
занятыми разными основными состояниями. Эти границы называются контурами.
Они представляют собой естественное обобщение контуров, использованных
при анализе двумерной модели Изинга в § 4. В этом разделе предыдущие
обозначения используются без каких-либо ссылок, дер определяется с
помощью g(Ho) и s > шах (A, R).
Понятие контура использует топологическую структуру Zd. Тем не менее наши
методы легко переносятся и на другие решетки.
Подмножество М решетки Zd называется связанным, если любые две точки х, у
: е М связаны конечной цепью х=х0, х\, ..., хп-\, хп=у так, что I#*-
#i+il = 1,
i = О, 1, ..., п- 1. Два подмножества М\ и М2 далеки друг от друга, если
d(M 1, М2) > 1. Подмножество М с; W называется компонентой W, если М
является максимальным связанным подмножеством W, т. е. из М <= М'' cz W,
М' Ф М следует, что М'' не связано. Следует отметить, что любое
подмножество является объединением своих компонент, это представление
единственно, и различные компоненты далеки друг от друга.
Определение 2.5. Пара Г = (Ж, ф(Ж)), где М = = supp ф(Ж) является
конечным связанным множеством, называется контуром конфигурации ф, если М
есть компонента границы дер конфигурации ф. Пара Г =
- (Ж, ф(Ж)) называется контуром, если существует хотя бы одна
конфигурация ф ^ Q такая, что Г - контур ф.
Множество всех возможных контуров обозначается Конечно, конфигурация ф(Ж)
на носителе контура Г = (Ж, ф(Ж)) не может быть произвольной, так как она
должна совпадать с одним из основных состояний в точках М около границы.
Пусть Г=(Ж, ф(ЖН_- контур, рассмотрим компоненты Ла множества Ж =
- Zd - M. Мы покажем, что с .каждой компонентой Лч.
ЙОПТУРЪ!
75
связано определенное единственным образом основное состояние г|)дЫа). Так
как Аа может содержать внутри себя другие контуры, q{Aa) лучше определить
через дАа = {х- d(x, Ж) = 1, х е Ла}.
Легко проверить, что - также связанное множество (напомним, что ,9 в
определении границы больше, чем период любого основного состояния). Таким
образом, если Г - контур конфигурации ср, то фОУДх)) - = \[>{Ws(x)) па
дАа с одним и тем же феЕ?(//0); помер соответствующего основного
состояния и есть q(Aa). При данном Г число q(Aa) не зависит от выбора ф.
Важным выводом из предыдущего является замечание о том, что любой контур
Г = (Ж, ф(Ж)) определяет единственную конфигурацию фг, такую, что Г -
единственный контур фг. Эта фг совпадает с ф(Ж) на Ж и с на компоненте Аа
из Ж. При d ^ 2 одна и только одна из компонент Ла, отвечающая Ж = supp
Г, пеогра-ничена и будет обозначаться Ext Г (внешность Г). Через Intmr
обозначено объединение таких конечных ком-
г
понент Аа из Ж, что q(Aa) - m, IntF= U Intm Г
m=1
(внутренность Г).
Если q(ExtT) = m, то мы говорим, что Г - контур с граничным условием фт.
Индекс q в записи Г9 подчеркивает граничные условия для Г, Од - множество
контуров Г9. Очевидно, что фг9 = (a. s). Дальнейшие
обозначения:
Ут(Г) = I Intm ГI, У(Г) = lint Г|, |Г| = Isupp Г|.
Если V cz Zd, Ге#, то Г <= У означает, что supp Г <= <= У, Int Г с= У и
d(supp Г, У) > 1. Если Г и Г' - контуры одной конфигурации, то из supp Г
с: Ext Г' и supp Г' <= Ext Г следует, что Г <= Ext Ии Г' <= Ext Г.
Аналогично, supp Tc:Int Г' =>- supp Tc:Ext Г' и Ext Г/(= <= Ext Г'. Так
как включения supp Г <= Int Г' и supp Г' <= Int Г не могут выполняться
одновременно, то Tczlntr' вводит частичное упорядочивание в О, причем Г9
<= Intm Г' невозможно, если q?=m.
Описание чистых фаз будет основано на статистических свойствах внешних
контуров.
7G ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Определение 2.6. Контур Г конфигурации ф называется внешним контуром ф,
если r<=Extr' для любого другого контура Г' конфигурации ф. Иными
словами, внешние контуры являются максимальными элементами в множестве
контуров конфигурации ф по отношению к введенному выше частичному
упорядочению.
Так как граница дф конечна, то множество внешних контуров конфигурации ф
- однозначно определенное непустое множество, и любой другой контур
содержится во внутренности одного из внешних контуров. В этом случае все
