Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ГиббсаР^рц g = 1, 2,.. .,г, является чистой фазой, и все они различны.
2). Существуют такие открытые кривые кДр), 'Уг(р), • • •, уДр) ^ U,о,
начинающиеся в ц(р), что РВД,.. ., Рр>1}, Ppj^, • • •, Рр?м, являются
различными чистыми фазами, если уДР), Я " 1" 2, . . г.
3). Существуют такие открытые двумерные поверхности у*Др) <= Рто, J- ^ i
< j ^ С что граница у<Др)
состоит из уДр), УДРД мДРД и поля Р{щi являются различными чистыми фазами
при ц ^ уг-Др) и q Ф i и
г- 1). Существуют такие непересекающиеся открытые подмножества у(1)(р),
..., у(г)(р) в Vo, ограниченные (г - 2)-мерными поверхностями
сосуществования двух фаз, что их замыкания покрывают Uo, и Рр^р, является
чистой фазой при р, е ^(9)(р).
ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
71
Приведем другую эквивалентную формулировку этой теоремы.
Теорема 2.1'. Существуют такие положительные константы Ро и ео, зависящие
только от Но, Н\,
. .Нт-1 и d, что для всех (} ^ существует гомеоморфизм = /p(jLt)
окрестности Uo = {ц: |ц1 < е01 такой, что образ Jf,Uo содержит целиком
окрестность 0 на 0Г, и q= 1,2, .. ., г, являются различными чи-
стыми фазами для тех значений q, при которых bq = О, /рСм") = (Ьь Ь2, ..
Ът).
Заметим, что в тех случаях, когда Н0 обладает дополнительной симметрией,
отображение /р, описанное выше, также обладает той же симметрией. Чтобы
сформулировать этот полезный факт более точно, предположим, что мы имеем
группу перестановок G, действующую в пространстве значений Ф. Той же
буквой обозначим действие группы в пространстве ?2. Допустим, что Но G-
инвариантен (см. § 1, гл. 1) и G отображает
г
семейство Нц = 2 \Ч#г гамильтонианов на себя.
^ г=1
Ясно, что G действует па множестве основных состояний g(H0). Поэтому G
порождает подгруппу группы перестановок множества {1, ..г), определенную
равенством = и равенство = определяет действие G в пространстве
параметров. Будем говорить, что наше отображение /р G-инвариантно, если =
#/р([а) для всех jы и g; символ gJp означает, что компоненты Ъи Ъ2, ...,
Ъг вектора /р(ц) переставлены в соответствии с действием g на множестве
{1, 2, ..., г). Как непосредственное следствие из теоремы 2.1
оказывается, что G-инвариантность Н0 и семейства Яй влечет G-
инвариантность /р в указанном смысле. Этот факт будет полезен для ряда
приложений.
Продемонстрируем теперь утверждение теорем 2.1 и 2.1' на некоторых
примерах.
Пример 1. Малые возмущения ферромагнитной модели Изинга. Пусть Ф = { + 1,
- 1), d ^ 2,
но (ф) - - 2 Ф (я) Ф (у),
II*-1/11-1
72
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
М(q>)= S ф((r)), Н= П0 + гН1 + НМ,
x^Zd
где //i - такой трансляционно-инвариантный гамильтониан с конечным
радиусом взаимодействия, что удельная энергия конфигураций и г|)~ по
отношению к Н1 одна и та же (г|)+Ы = + 1, = - 1, x^Zd).
Тогда для достаточно малых значений е g(Ho + e#i) = = (ф+, яр-}, и
условие Пайерлса выполняется, поскольку \g{$H)\ = 1 при h?= 0. Таким
образом, справедлива теорема 2.2.
Теорема 2.2 (см. [35]) Существуют такие положительные константы Ро и ео и
функция h = h($, е), определенная для р ^ $о и I е I ^ 8о, что для
значения параметра h = h($, е) у гамильтониана $Н существуют две
различные чистые фазы.
Пример 2. Ферромагнитная модель Изинга с несколькими значениями спина.
Пусть Ф = {1, 2, ..., г}, d^2 и
Но ~ 2 2 ^ф(*),ф(у)*
X€EZd 1
тогда g(#o) = Hi, Фа" •••> фг), где ^q{x) ^ q для всех х. Но
удовлетворяет условию устойчивости Пайерлса.
Теорема 2.3. Существует такое ро > 0, что при всех р > Ро У гамильтониана
р//0 существует г предельных распределений Гиббса. Как функции р эти
распределения распадаются на г кривых, каждая из которых является малым
возмущением одного из основных состояний.
Доказательство. Введем г - 1 внешнее поле с помощью формальных
гамильтонианов
Hq =ЕСд(ф(ж)), q = 1, 2,..г - 1,
где Uq(m) = 1 при m-q и Uq{m)= 0 в остальных случа-
r-1
ях. Возмущение = 7Г0 "Ь 2 полностью снимает
г-1
вырождение giH0). Таким образом, для всех р > р0 существует такая точка ц
= ц(?0, что все q = 1,
2, ..., г, являются различными чистыми фазами. Из-за
КОНТУРЫ
73
симметрии относительно группы перестановок множества {1, ..7"} ц(р) = 0.
В этом простом случае предельные распределения Гиббса для возмущенного
гамильтониана также могут быть определены.
Пример 3. Аитиферромагнитная модель Изинга (см. [13] - [15]). Пусть Ф = {
- 1, 1), (I ^ 2 и
н0 = 2 2 ф И ф (y) + h 2 ф (х).
У"11х-1/11-^ х€етА
Поскольку
я0=2 2 ГфИфЫ + хИфФ + фЫ)
x(=zZd 2/:||зс-2/||=1
^ ~ 2 2 [(ф W +Ф (У))2 + 4J (ф (#) +
x<=Zd У:11х-!/Н=1 L
+ ф(у))-2],
мы видим, что основные состояния Н0 являются конфигурациями типа
шахматной доски: ср(х) = - ср(г/), если \\х- 7/11 = 1, по крайней мере
при \h\<Ad. Легко проверить, что в этом случае условие Пайерлса
удовлетворяется с константой, пропорциональной 4d- \ h\.
Теорема 2.4. Пусть \h\ < 4d. Тогда существует такое Ро = Ро(А) > 0, что
для Р > Ро основным состояниям г|)1 и ф(2 соответствуют различные чистые
