Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
быть только плюсы или минусы).
Подсчитаем вероятность того, что точка to является началом контура длины,
большей, чем Ciln|V| (Сi определим позднее). Заметим прежде всего, что
если Nt0(r)-число контуров длины г с началом в точке to, то справедлива
следующая оценка:
так как, отправляясь от точки to, мы будем каждый раз иметь не более трех
возможностей для продолжения контура, кроме первого шага (строго вправо).
Пусть
Р+{ф(У): to - начало контура у с: <9(ф(У)) длины г> ^ ЗГ-1 • бГ2Рг,
ф(У]€:Ф<у
X ехр {- 2Р I (F) 1} ф(У)
2 ехр {- 2Р | д(р (F) 1}
Ф(У)еФ7
2 ехр {- 2(? | д(р (F) |)
= охр{- 2р j 71 >.
Ф(У)еФ?
2 ехр { 2|3 | д (F))) ||
^М<зм,
также Зе"2Р<1, т. е. 1пЗ. Тогда на основании
неравенства Пайерлса
68 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Р+{ф(У): to - начало контура дс:<9(ф(У)) длины
большей, чем Сг In | V' | ^ 3 с ^^ _2р
r^miyj
I у Cid-2Э)1ПЗ
1 - Зе~
Р+{ф(У): найдется контур д<=<9(ф(У)) длины, боль-
^(1-213)103+1
шей, чем Сг 1п|У|}<--*-------------те .
1 3 ^ 1 - Зе~2р
Последнее выражение стремится к нулю при \V\ ->¦ ->¦ оо, если С\(1 - 2р)
In 3 + 1 < 0, т. е. C±<Z- 1
(20 - 1) In 3*
Выберем С\ удовлетворяющим этому условию.
Следствие I доказано.
II. Пусть 0 = (0, 0) - точка внутри объема V. Тогда равномерно по V
Р+{ф(0) = - 1} 0, $ ->¦ оо.
Доказательство. Если ф(0) = - 1, то точка О = (0, 0) лежит внутри
некоторого контура. Запишем это так: 0 ^ Int д. При больших 0 и V оо с
большой вероятностью этот контур не будет иметь слишком большую длину (не
больше CilnlFl). Начало каждого контура 7, для которого O^Intg,
определяется нарой целых чисел (р, q), причем в силу следствия I
достаточно рассматривать р и q меняющимися от 0 до С+1п|У| (иначе контур,
имеющий начало в (/?, q) и содержащий точку 0 внутри себя, будет большей
длины, чем CilnlFl). Заметим, что длина наименьшего контура с началом в
(р, д), содержащего (0, 0) внутри себя, равна 2(р + q) + 4.
Тогда
Р+{ф(У): 0 е Int у, где ч начинается в (р, д), 1^1 < Cxln|V|
VI 1 Oft Q2(p+g) + 3 -4|3(p+g+2)
<CIln|F|)< 2 ------i-55-
r=2(p + q) + 4
P+ {ф (0) = - 1} < P+ {0 e Int 7 с: <?Ф+)} ^
C^ln|V| гС^ЩУ!
< 2 TZT=ir> 2 (9e"4P)p+92 (P + ? + 1) +
P,5=0 1 °e V+Q=1
+ig|=o
i p I -+1
+ P4. {хотя бы один контур д<=<Э(ф(Е)) таков, что
ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
69
С2е 4,3 + Р+ {хотя бы один контур ^ с; dcp(F) таков, что
I у I > Сх ln| V |}"72е"4|? + (1 - Зе.-*Р )_11 V | c1(x-""ina+i
в силу следствия I. Ясно, что последнее выражение стремится к 0 при [} оо
равномерно по всем V.
Следствие доказано.
Приступим непосредственно к доказательству теоремы. Рассмотрим
последовательность расширяющихся квадратов V с граничными условиями +1.
Предельное распределение Гиббса как предельная точка такой
последовательности распределений в расширяющихся объемах существует.
Обозначим это предельное распределение, полученное по последовательности
объемов с граничными условиями +1, через Из
предыдущего следует, что при достаточно больших ?
Р(+ {ф (0) = - 1}
Проведя такие же рассуждения, заменив граничные условия + 1 на - 1,
получим аналогично, что
Р(- {ф (0) = + 1} < -j-, т.е. pL0){cp(0) = -l}>J-
Отсюда следует, что Р[!?фР+\ т.е. существует по крайней мере два
предельных гиббсовских распределения. Нетрудно исследовать типичные
конфигурации для Р^ и В первом случае типичные конфигурации будут
состоять из "моря" плюсов с "островками" минусов, во втором случае -
наоборот. Из следствия II легко следует, что предельное распределение
Гиббса р<о)(р(с)))
представляет собой малое возмущение основного состояния г|)+(г|)~).
§ 5. Основное утверждение и его следствия
Возвращаясь к ситуации § 3, обозначим через Но периодический гамильтониан
с периодическими основными состояниями \|'i, \\h', Иь Я2, ..., #r_i -
произвольные периодические гамильтонианы с конечными радиусами
взаимодействия. Мы предположим, что Но удовлетворяет условию устойчивости
Пайерлса и
70
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
7/й = Но + [Х\Н\ +...+ jTr-iНг-\ - возмущение, пол-
ностью снимающее вырождение периодических основных состояний Но. Через
Рр% обозначим предельное распределение Гиббса для гамильтониана р//й,
являющееся предельной точкой последовательности условных распределений
Гиббса в конечных объемах V при граничных условиях вне V. Будем говорить,
что является чистой фазой, если существует сла-
бый предел
limPy,
У-> эс
где Pv - указанное условное распределение Гиббса. Смысл этого названия в
том, что эти пределы в рассматриваемом нами случае окажутся
трансляционно-инвариантными или периодическими распределениями
вероятностей с быстрым убыванием корреляций, являющимися малыми
возмущениями соответствующих основных состояний. Основным результатом
этой главы служит следующая теорема.
Теорема 2.1. Существуют такие положительные константы Ро и ео, зависящие
только от Но, Нi, ... ..., Нг-1 и d, что для р и ц^?/0 = {ц: 1ц1<ео}
1). Существует точка цСр) ^ Uq такая, что каждое предельное распределение
