Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1C), есть инвариантная мера для S. Сейчас мы опишем кратко идею так
называемого метода термодинамического формализма, который дает
возможность исследовать свойства инвариантных мер Т (см. [7], [8]).
Будем рассматривать пространство ?2 как пространство конфигураций
решетчатой спиновой системы статистической механики, в которой отдельная
спиновая переменная (c)" принимает значения 1, 2, ..., г. В равновесной
статистической механике рассматривают свойства распределений Гиббса. В
применении к нашей ситуации эти распределения строятся следующим образом.
Возьмем функцию 1/((c)0, (c)-ь (c)+ь (c)-г, (c)2,..., (c)-*, (c)*,...), про которую мы
предположим, что при некоторых постоянных С<оо и р, 0<р<1,
sup |t/((c)о, (c)-1, (c)1, ...,(c)-*, (c)*, (c)-*-i(c);+i...)-
а","о',(c)"
-t/((c) о, (c)_1, (c)1, ...,(c)-*, (c)*, (c)'i*-i, (c)г+ь ...)|<ср\
Далее, для любых /и>0, л>0 рассмотрим отрезок [-т,п] и конфигурацию (c) =
{(c)*,&ф[-т, л]}. Тогда мы можем построить распределение вероятностей Ртп
на пространстве конфигураций (c)*, -т^к^п, для которого
1 "
Рт,"(а>к, -/и<А:<л)=--- ехр ? 1/((c)*, (c)*_ь (c)*+1,...), ""...(.И;
где в качестве переменных вне [-/и, п ] берутся (c)/. Множитель Нт ,"((c)),
называемый статистической суммой, выбирается исходя из условий
нормировки. Используя рассуждения, близкие к рассуждениям лекции 12,
можно показать, что при т, п -"оо распределения Рт," слабо сходятся к
пределу Р, который не зависит от выбора граничных условий (c). Функция U
называется иногда потенциалом, а Р-распределением Гиббса, отвечающим
этому потенциалу.
Терминология, которой мы придерживались в этой части книги,
непосредственно связана с терминологией статистической механики. Возьмем
l/=lnX<u)(x). Тогда гиббсовские меры,
197
которые мы изучали в лекциях 16, 17, представляют собой гиббсовские меры
статистической механики, строящиеся при помощи потенциала V. Большую роль
играет также мера, отвечающая С/=0, которая часто оказывается мерой с
максимальной энтропией. Она участвует в теоремах, связанных с равномерным
распределением периодических траекторий.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° Понятие марковского разбиения появилось впервые в работе
[1] СинайЯ. Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы// Функцион. анализ
и его прил.-1968.-Т. 2, № 1.- С. 64-89.
Определение, использованное в этой лекции, было предложено Р. Боуэном,
см. его книгу
[2] Bowen R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov
diffeomorphisms//Lecture Notes in Math.- Berlin, New York: Springer-
Verlag, 1975.- V. 470.
Эта книга показывает, как марковские разбиения могут быть использованы
для анализа свойств стохастичности детерминированных динамических систем.
Счетные марковские разбиения для одного класса бильярдов были построены в
работе
[3] Бунимович Л. А., СинайЯ. Г., Чернов Н. И. Марковские разбиения для
двумерных гиперболических бильярдов//УМН.- 1990,-Т. 45, № 3.
Подход Пригожина к //-теореме для динамических систем изложен в его книге
[4] Prigoginl. R. From Being to Becoming [Рус. пер. Приго-жин И. P.]
В этой же книге можно найти ссылки на другие работы И. Р. Пригожина и его
соавторов, посвященные этой теме.
2° Теория геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны
представляет собой важный раздел эргодической теории. Она связана со
многими проблемами дифференциальной геометрии, теории представлений,
теории чисел, теории уравнений в частных производных и т. д. Эргодические
свойства таких потоков изложены в книге
[5 ] А н о с о в Д. В. Геодезические потоки на компактных римано-вых
многообразиях отрицательной кривизны//Труды Матем. института им. В. А.
Стеклова.-1967.-Т. 90.- 210 с.
Лемма Хопфа содержится в его работе
[6] Hopf Е. Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten von
negatwer Kriimmung.- Leipzig: Ber. Verhandl. Sachs. Akad. Wiss., 1939.-B.
91.-S. 261-364.
3° Термодинамический формализм излагается в книге
[7] RuelleD. Thermodynamic Formalism. Encyclapedia of Math, and its Appl.
Vol. 5.- Read. Mass.: Addison-Wesley, 1978.
Идеи термодинамического формализма появились впервые в работе
[8] СинайЯ. Г. Гиббсовские меры в эргодической теории// УМН.-1972,-Т. 27,
№4,-С. 21-64.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм (сдвиг) Бернулли 14
- Маркова 14
- пространства с мерой 7
- с чисто точечным спектром 39 Адамара-Перрона теорема 178 --------для
гиперболических точек 138
Белыха отображение 165 Биллиард внутри многоугольника 30
- двумерный рассеивающий 175 Биркгофа-Хинчина эргодическая теорема 16
Бреймана теорема 67
Вращения число для гомеоморфизмов окружности 89 Временная корреляционная
функция 24 Временное среднее 16
Гамильтонова система 12 Гаусса отображение 9 Геодезическая класса А 130
Геодезический поток 12 на компактном многообразии отрицательной кривизны
173
обобщенный 162
Гетероклиническая точка 139 Гиббсовская мера 179
Гиперболическая неподвижная точка 137
- периодическая точка 137
- точка 178
а-гиперболическая точка 178 а>-гиперболическая точка 178 Гиперболичности
