Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
облегчает анализ.
Мы обсудим ее на примере геодезического потока на компактной С03-
поверхности отрицательной кривизны (см., в частности, [5]). Итак, пусть
Q-такая поверхность, М- единичный касательный пучок на М, {S'}-
геодезический поток на (см. начало лекции 16 и конец лекции 17). Как уже
объяснялось, у<и,(х) есть оснащение кривой у<и,(х) единичными векторами
нормали, выбранное так, что х е у <") (х) (рис. 18.1). Аналогично
строится y<s,(x). Глобальные слои Г(,,,(х), Г<s) (х) получаются путем
продолжения у<и> (х), у<s) (х) соответственно.
Обозначим Л{и\ Jt(i) ст-алгебры, образованные из множеств, состоящих mod0
из Г*10, Г<5) соответственно. Следующая лемма есть переформулировка
одного из утверждений
Э. Хопфа [6]. Напомним, что Л<lnv) есть ст-алгебра множеств
инвариантных mod 0 относительно геодезического потока.
0<5< 1,
е
- const •
(2)
е
- const • 6*
^ ? const • 8*
(3)
Поскольку р0е(r)1(С, р), то
? - const •
(4)
Г(5,(Ю
Рис. 18.1
194
Лемма 1. Jt,mv) с Jt(u), Jt(mv) с Jt(s), и, следовательно,
Jt(im) cJtMf)Jtw.
Доказательство. Пусть /- произвольная непрерыв-
т
ная функция, /+(х)= lim - /(5'х)Л там, где этот предел Г~сс Т J
О
существует, и /+(х) = 0 в остальных случаях. Из эргодической теоремы
Биркгофа-Хинчина следует, что предел существует почти всюду. Если для х
предел существует, то он существует для любой уеГ(1)(х), поскольку т
т
lim j |/(5'х)Л-lim I j/(S'y) А=
0 0 if
= lim - J (f(S'x)-f(S,y))dt = 0 о
и подынтегральное выражение стремится к нулю. Таким образом, /+ (х)
постоянное на T(s)(x),_ т. е. /+ измерима относительно Jt<s). Поскольку
функции /+(х) плотны в пространстве интегрируемых функций, измеримых
оносительно Jt(mv), то Jt(mv) с Jt(s). Аналогично доказывается включение
Jt(mv) с Jf(u) и т. д.
Замечание. Утверждение леммы верно и для широких классов преобразований с
инвариантной мерой, у которых почти каждая точка х имеет T(s) (х) и
Г(и)(х).
Из леммы 1 вытекает, что для доказательства эргодичности геодезического
потока достаточно установить, что Jt(u) [)Jt(s) = J~, где, напомним, Jf
есть тривиальная ст-алгебра подмножеств меры 1 или 0. Возьмем у<и)(х) и
через каждую точку уеу(и)(х) проведем y(s)(y). При этом мы получим
двумерную поверхность, которую обозначим ?(2) (рис. 18.2). Далее, через
каждую точку ze?(2) проведем y<u)(z).
Рис. 18.2
Нетрудно показать, что полученное множество ?(3) будет открытым
подмножеством М. Небольшие дополнительные усилия требуются для того,
чтобы показать, что ?(3) принадлежит modO одной эргодической компоненте.
При этом существенную роль играет обсуждавшееся в лекции 17
195
свойства абсолютной непрерывности. Свойство слоев Г<5), Г<и), состоящее в
том, что при описанной конструкции множества Z<3) оказывается открытыми,
называется неинтегрируемостъю слоений, образованных многообразиями
Г(1) и Г<и). Из
неинтегрируемости сравнительно просто вытекает эргодичность.
Кроме того, из-за неинтегрируемости слоений слегка
видоизменяется определение марковского разбиения для потоков. Пусть у <=.
М-какая-либо С "-кривая, С ^близкая к какому-либо л. н. м. у00. Проведем
через каждую точку убу<и) какое-либо л. у. м. y(s)(y) и образуем
двумерную поверхность
Z<s), Z(s,= (J y<s,(y). Предполо-
yey
жим, что концы Y<я) (у) выбраны так, что Z<s) имеет кусочногладкую
границу. Через j:<s> (?<">) обозначим разбиение Z(1) на кривые y<s)(y)-
Определение 3. Набор непересекающихся поверхностей Xj5*, Zj*,..., Z's)
называется s-марковским множеством, если каждая кривая у;, отвечающая
Zi5), может быть разбита на дуги у^ таким образом, что на каждой дуге
можно задать положительную непрерывную функцию ii} и при этом (рис. 18.3)
Г
1. "5'у(,)(у)П U ?1'>=0 пРи 0<,<то(У)> и пРи любом
п = 1
у е Yu;
2. SVy)Y<s)(y) с y<s)(y') для некоторого y'eyicZjf1;
3. для любого у'еу* найдется у"еуу такое, что
SVy'>y<*>(y")e Yfa>(/).
Аналогичным образом можно определить м-марковское множество, заменив t на
- /. И s- и м-марковские множества существуют. С их помощью можно
доказать целый ряд важных топологических и статистических свойств
рассматриваемых геодезических потоков, в частности равномерную
распределенность замкнутых геодезических, центральную предельную теорему
и т. п. В ряде случаев марковские множества можно описать достаточно
явно.
Вернемся к кусочно-гладким отображениям, для которых можно построить
конечные марковские разбиения. Пусть Т-одно из таких отображений, ос={Сь
..., Сг} - отвечающее
196
Рис. 18.3
ему марковское разбиение. Через ?2 обозначим пространство
последовательностей (c)={(c)"}, - оосжоо, каждое (c)*
принимает значения 1,г. Через S обозначим сдвиг в пространстве ?2. Для
хеМ построим (c), для которой Т"хе Сщ<; тогда отображение л: хн+(c)
определяет символическое представление Т, которое строится при помощи
разбиения а. Основное свойство символического представления состоит в
том, что Sn = nT, т. е. любое преобразование Т переходит в сдвиг.
Поэтому, если v-инвариантная мера для Т, то v* = ti*v, где v*(C) = v(ti-
