Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагая его доказанным для п- 1, заметим, что Пю-1ПШ >?ПШ_1 является
в силу этого также параллелограммом. Поэтому П(я) как пересечение двух
параллелограммов снова представляет собой параллелограмм. Далее, в силу
марковости П(я) есть параллелограмм, для которого Yn'."(x) = Yn'(x),
Yn'">(x) = Yn' (х)ПT'Yn* (r-1x)n...nr"Y^ (Гях)=
" -r-," (Г-4
В силу той же марковости мы получаем убывающую последовательность
замкнутых подмножеств (х), пересечение которых, на основании определения
устойчивого слоя, состоит из одной точки. Эту точку мы обозначим у-, а
все
оо
пересечение f) Т"П0 есть слой уЙ* (у-)- Проводя аналогично "
ные рассуждения при л>0, мы найдем точку у+, для которой Уд. (У+)= П
Г"ЯП",. Тогда У = УЙ1 (у")ПуЦ (у+) будет ис-
0 я=0 0 0
комой. Теорема 1 доказана.
Доказанное утверждение допускает важную интерпретацию с точки зрения
теории вероятностей и статистической механики. Оно показывает, что если
юя рассматривать как последовательность значений спиновых переменных
статистической механики, то полубесконечная последовательность {..., (0-
я, ..., со - ь (Оо} отвечает при символическом представле-нии УЙ1о(У+)-
Тем самым меры vtW, которые мы построили в предыдущей лекции,
соответствуют с точки зрения статистической механики гиббсовским мерам на
пространстве полубесконеч-ных конфигураций <о", л>0, при фиксированных
значениях переменных со", л<0.
Конечные марковские разбиения существуют для диффеоморфизмов Аносова, для
диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А Смейла (см. [1], [2], [7]).
Для разрывных систем в ряде случаев также удается построить марковские
разбиения, но они оказываются счетными (см., в частности, [3]). Это
неизбежно, поскольку из-за разрывного характера зависимости л. у. м.
у(и)(х) от х образующие множества параллелограммов могут быть только
подмножествами'кан-торовских множеств положительной меры.
Мы рассмотрим сейчас следующий общий вопрос. Допустим, что на множестве
М0 (см. начало лекции) задана
189
инвариантная мера р, которая является гиббсовской по отношению к
инвариантному семейству мер vro<> на и. м., построенному в теореме 1
лекции 16. Допустим также, что удалось показать, что для любой
неравновесной меры р0, имеющей плотность по мере Лебега, ее сдвиги рл =
(Г')"р0, рл(С) = ро(7'~"С), сходятся к мере р, например, в том смысле,
что для любой ограниченной измеримой функции / интегралы J/(x)Jp"(x)
стремятся при и->оо к J/(x)Jp(x). Спрашивается, можно ли построить такой
функционал Ж (р0) на всем пространстве мер р0 или его достаточно богатом
подмножестве, чтобы Ж (р")->Ж (р) при п ->оо и малость Ж(^) - Ж (р)
означала бы близость р" к р.
При этом функционал Ж (р0) должен удовлетворять определенным условиям
непрерывности, иначе возможны тривиальные неестественные примеры.
Существование такого функционала выражает необратимый характер динамики
при обратимости уравнений движения. Сформулированный выше вопрос,
насколько нам известно, не обсуждался в надлежащей общности в теории
вероятностей. Большое внимание ему уделил И. Р. Пригожин и его сотрудники
(см., например, книгу [4] и имеющиеся там ссылки).
Мы предлагаем несколько иной подход по сравнению с [4]. Он основан на той
картине эволюции мер, которая была объяснена в двух предыдущих лекциях.
Имея неравновесную меру По, рассмотрим отвечающие ей условные меры на
элементах Q какого-либо разбиения %, являющихся подмножествами л. и. м.
у(в). Предположим, что эти меры задаются плотностями по риманову объему.
Согласно изложенному в лекциях 16, 17 при действии Т" условные меры на
С5, отвечающие р", сходятся к условным мерам, отвечающим инвариантным
семействам мер vrd<) на и. м. Г(в). При этом условные меры на "больших"
подмножествах и. м. сходятся к мере р. Отсюда, в частности, следует, что
скорость сходимости р* к р зависит от гладкости исходных плотностей
условных мер. Именно это обстоятельство кладется нами в основу
определения функционала Ж{р0).
Для того чтобы не слишком усложнять дело техническими деталями, мы
рассмотрим простейшую ситуацию, где наш подход применим. Пусть М-
двумерный тор, Т-С "-диффеоморфизм Аносова, заданный на М. Содержательным
примером может служить T(xi, x2) = (ax1+bx2 + ef1(xl, х2), cx1 + dx2 +
ef2(xi, х2)), где /ь /2 - периодические класса С(r) функции периода 1 по
каждой переменной, |е| достаточно
мало: а, Ь, с, d-целые числа, det А = det а * =ad-bc= 1,
с а
\a + d\>2. Приведем нужные нам свойства Т (см. [2]).
190
1. Г(и)(х) для каждого х представляет собой С00-кривую. При обратном
отображении М на R2 Г(и,(х) переходит в С "-кривую, отстоящую на конечном
расстоянии от прямой, идущей по направлению собственного вектора матрицы
А с собственным значением А1"1, |Л<и)|>1. В общем случае матрица А есть
матрица автоморфизма одномерной группы гомологий.
У. м. Г<8)(х) представляют собой аналогичные кривые с заменой одного
собственного вектора на другой с собственным значением A<s), | A<s)|< 1.
