Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
[6] KatokA. В., StrelcynJ. Smooth maps with Singularities: invariant
manifolds, entropy and billiards // Lect. Notes in Math.- Berlin:
Springer-Verlag, 1987.- V. 1222.
[7 ] С о 11 e t P. L e v у Y. Ergolic properties of the Lozi mappings //
Comm. Math. Phys.-1984,-V. 93, № 4,-P. 461-482.
[8] СинайЯ. Г. Гиббсовские меры в эргодической теории// УМН,-1972,- Т.
27, № 4-С. 21-64.
ЛЕКЦИЯ 18
МАРКОВСКИЕ РАЗБИЕНИЯ, Н-ТЕОРЕМА,
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА
Мы продолжаем изучение динамики на инвариантных множествах, в которых
каждая точка имеет н. м. и у. м. Важным средством изучения таких систем
является метод марковских разбиений и так называемый термодинамический
формализм.
Марковские разбиения для одного важного частного случая уже появлялись в
лекции 3. Сейчас мы введем соответствующие общие определения (см. [1 ],
[2]). Вначале рассмотрим случай дискретного времени.
Пусть Т-кусочно-гладкое обратимое отображение многообразия с краем М, для
которого Г-1 также кусочно-гладкое. Рассмотрим инвариантное подмножество
М0, у которого
186
каждая точка хеМ0 имеет н.м. Г(и)(х) и у. м. r(s,(x). При этом
предполагается, что Г<ы,(х)-<= М0, a r<s,(x) может и не принадлежать М0.
В основе понятия марковского разбиения лежит понятие параллелограмма.
Пусть для каждой точки хеМ0 выбраны каким-либо образом л.н.м. у<и,(х) и
л.у.м. y(s)(x). Как и в предыдущей лекции, фиксируем шар ?/ <= Л/ и
возьмем такие слои y<u)(x), y<s)(x), что 5y(u,(x) <=dU, dy(s)(x)<=dU. Мы
предположим, что U настолько мало, что у<и,(х)Пу (х) = х для всех х е
Uf]M0. Для любого замкнутого подмножества П <= U обозначим
у м (х) = у <"> (х) П п, у" (х) = y(s> (х) п П.
Определение 1. Подмножество П <= U называется параллелограммом, если для
любых точек х', х"еП пересечение Уп)(х,)ПУп(х*) не пУсто и состоит из
одной точки и для любой точки х е П
П= и УЙЧхОПУЙЧх')-
х'бу"'(х)
x"6v"(x)
Смысл этого определения состоит в том, что для получения П следует взять
"образующие слои"
у"(х)<=у"(х), y"(x)cyW(x)
и через каждую точку x'eyy(x) провести у<и)(х'), через каждую точку
х"еуц)(х) провести y's)(x"), и тогда П будет состоять из всевозможных
пересечений y()(x')f)y(s)(x"). В определении 1 не предполагается, что
образующие множества Уц^х), Уп(х) открыты, связны и т. п. В принципе, они
могут быть подмножествами любой природы. В приложениях встречаются
ситуации, когда у^*(х), Уд(х) оказываются замкнутыми нигде не плотными
множествами положительной меры.
Для любого параллелограмма П через ^ обозначим разбиения П на у^\ у^*
соответственно. При этом ясно, что различные элементы разбиения ^
канонически изоморфны между собой (по поводу канонического изоморфизма
см. предыдущую лекцию). В дальнейшем все встречающиеся параллелограммы
предполагаются замкнутыми.
Если П-параллелограмм и Т непрерывно на П, то 7П - также параллелограмм.
Если Пь П2 - параллелограмм, то и П!ПП2 также параллелограмм.
Действительно, возьмем хеП!ПП2 и образующие слои уЙ|(х), у?>(х) и yg'(x),
yg'Jx). Тогда параллелограмм П^Пг строится с помощью образующих слоев
уЙ|(х)ПУЙ!(х) и у?> (xjDyS'Jx).
187
Пусть ?-конечное или счетное разбиение М0 на параллелограммы Пь П2,...
При этом необходимо еще раз
подчеркнуть, в каком смысле {П/} образуют разбиение. В принципе, Пj могут
пересекаться, но это пересечение должно быть несущественным. Критерием
несущественности служит следующее условие: для любых у^*(х), у(^(х)
'V-'w^n'Mn U ущ(у))=°>
кф)
^(у)пгй;(х)=0
(r)т"(ж)(Уп)(*)п U Ущ(у))=°-
кФ]
тЙ*(у)ПтЙ)("Н0
В дальнейшем, говоря о разбиении, мы будем пред-
полагать выполненным это условие.
Определение 2. Разбиение С, называется марковским, если для любого хеП,
^(х)с:у<;>(Гх), ТхеП*,
У'_1хбП1.
Условие марковости означает тем самым довольно жесткую согласованность
параллелограммов П, между собой.
Основное достоинство марковских разбиений состоит в простоте
символической динамики, которая строится с их помощью. А именно, для
любой точки хеМ0 напитпем последовательность включений Г"хбПЮя, - оосжоо.
Тогда точку х мы можем "закодировать" бесконечной символической
последовательностью (о={...(о_1, ю0, юь ..., (ол, ...}, (0*=!, 2, ...
Основной вопрос, который всегда при этом возникает, состоит в том, чтобы
выяснить, какие последовательности со соответствуют точкам множества М0.
Легко выписать необходимое условие. Введем матрицу пересечений А = || ау
||, где ау = 1, если TniC]Uj^0, и ау=0 в остальных случаях. Тогда
очевидно, что должно быть аш>ш>+1 = 1, - оосжоо. Оказывается, что это
условие также достаточно.
Теорема 1. Если Т,Т~1 непрерывны на каждом П,, j- 1, 2, ..., mo для любой
последовательности (о={(ол} такой, что 0^0,^, = 1 при всех п, - оосжоо,
найдется уеМ0, для которой /"убП^, - оосжоо.
Доказательство. Рассмотрим вначале слово (о- ={..., (о_л, ..., (О-!, (о0}
и соответствующее ему пересечение ПЮоП7Пю.,П - ПTni\a =ПМ. Покажем, что
оно является
188
параллелограммом. При л=0 это утверждение есть следствие определений.
