Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ZM
Здесь {zj-носитель меры X!1/. В силу выбора подпоследовательности tk
последнее выражение сходится к
J dl{i)(z)h(z) = J dk{i)(z)( j dvr^(z)(y)) j/(y)dvr,-,(y).
V, V, \rw(z) / r'"'
Но это и означает, что мера X гиббсовская. Теорема 5 доказана.
Аналогичная теорема может быть доказана для потоков. Как мы уже
подчеркивали, теорема 5 вполне аналогична теореме существования
гиббсовских состояний в статистической механике. Теперь мы займемся
проблемой единственности, которая в статистической механике связана с
проблемой фазовых переходов. В нашей ситуации фазовых переходов, как
правило, не возникает, поскольку она соответствует одномерной
статистической механике с быстро убывающим взаимодействием.
Допустим, что множество М0 можно покрыть конечным
I
числом открытых областей М0а [J Ut, в каждом
i=i
подмножестве С/,- выбрать точку zh ее л. н. м. y(l,,(z,) и транс-
версальное подмногообразие у,. При этом для z е у; П М0 существует л. н.
м. y(,,)(z), канонически изоморфное у<и)(г,) и Uif)M0= UУ<в)(2)- Далее,
все канонические изоморфизмы абсолютно непрерывны и
1) найдется такое т, что любое Ттум(у), уеМ0, содержит хотя бы одно yw(z)
с (/: при всех /,
2) любое y(B)(z) допускает представление y(u|(z) = IJ у*"*,
*
причем для каждого к найдется такое пк, что Тп'ук) есть один из слоев
y<u)(z), zeC/j.
Свойство абсолютной непрерывности канонического изоморфизма выполняется
при достаточно общих условиях.
184
Обычный путь его доказательства состоит в следующем. Пусть А(= y<B,(z) и
А' = п(г)(А), причем А есть множество с кусочно-гладкой границей. Тогда
Т"А и Т"А' поточечно сближаются друг с другом. Дополнительные рассуждения
требуются для доказательства того, что сближение происходит также в С 2-
топологии. Но если это уже так, то мы берем шар D фиксированного радиуса
е>0 на ТпА и его канонический образ D'cTnA'. В силу сказанного объемы D и
D' близки. После этого мы вычисляем меры v^"(i)(z)(7'_"Z)) и
vfr"l)(z.)(r~"D') и убеждаемся, что отношения v#,w(r-"Z>)/a7WW(7'-1'Z>) и
v nD')/ay(.)(l')(T nD') равномерно ограничены сверху
и снизу положительными постоянными. Это и дает требуемую абсолютную
непрерывность. Подробности см., например, в [4], [6].
Условия 1) и 2), с одной стороны, чисто геометрические, а с другой
стороны, имеют тот же характер, что и условия эргодичности в теории цепей
Маркова.
Теорема 6. При описанных выше условиях и при условиях теоремы 5 v(u)-
гиббсовская мера, которая строится в теореме 5, единственна.
Доказательство этой теоремы чрезвычайно просто. Мы опишем только основные
шаги. Вначале мы замечаем, что для любых двух Y<u,(z2)e Ut
отвечающие им меры
\±" (см. доказательство теоремы 5) сближаются друг с другом. Этот факт
устанавливается одновременно с доказательством абсолютной непрерывности
канонического изоморфизма.
Второй шаг состоит в том, что если y(,,)(zi)e Uit, y<u,(z2)e е Ui2, то
соответствующие меры л, (см. доказательство теоремы 5) сближаются. При
этом используется условие 2), из которого следует, что р., отвечающая
у?') <= y(u,(z2), сближается с отвечающей y<u,(zi)eUt. Подробности мы
опускаем.
Приведенные рассуждения нетрудно распространить и на случай потоков.
Примеры. 1. Рассмотрим геодезические потоки на компактных многообразиях
отрицательной кривизны (см. лекцию 16). У. м. и н. м. представляют собой
оснащения орисфер (орициклов в двумерном случае). Меры vn.>, vn" строятся
по общему рецепту. Они эквивалентны риманову объему на Г("! и Г(,), а в
случае постоянной отрицательной кривизны совпадают с ним. Мера Лиувилля
является уг("-гиббсовской и \Гы-гиббсовской. Нетрудно показать, что такая
мера единственна.
2. Для рассеивающих бильярдов справедливы такие же утверждения.
3. В кусочно-линейных отображениях Лози и Белых локальные многообразия
являются прямолинейными сегмен-
185
тами. Меры vr("), vr<"> на них локально являются мерами Лебега.
Построение vr<"ггиббсовских мер для отображения Лози было проведено в
работе Колле и Леви [7], а для отображения Белых-в неопубликованных
работах Лесина и Сатаева.
4. Вся конструкция непосредственно применима к транзитивным
диффеоморфизмам и потокам Аносова, где каждый из слоев Г<"), Г(5) всюду
плотен (см. [5], [6], [8]).
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° По поводу теоремы Адамара-Перрона см.
[1] Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римано-вых
многообразиях отрицательной кривизны // Труды Матем. института им. В. А.
Стеклова.-1967.-Т. 90.- 210 с.
[2] HirschM., Pugh С., ShubM. Invariant manifolds//Lecture Notes in
Math.- Berlin: Springer-Verlag, 1977.-V. 583.
[3 ] Динамические системы. Т. 2. // Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления / Под ред. Я. Г. Синая.- М.: Изд-во ВИНИТИ,
1985,-310 с.
2° По поводу канонического изоморфизма см.
[4] Аносов Д. В., СинайЯ. Г. Некоторые гладкие динамические
системы//УМН,-1967,-Т. 22, № 5,-С. 107-172.
[5 ] С и н а й Я. Г. Марковские разбиения и Г-диффеоморфизмы // Функцион.
анализ и его прил.-1968.-Т. 2, № 1,-С. 64-89.
