Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
фиг. 110, а. Ей соответствует оператор
S (р, W) = — ^ ^ tfk^Sp (р - k) yvDp (к). (16.84)
§ 5. Тождество Уорда
591
Если продифференцировать оператор X (р, W) по р^, то с помощью тождества
(16.836) получим
dS (р, W) = ig2 Г difci'>SF(p-k)yllS(p-k)y4DF(k). (16.85) дрР J
Но это выражение с точностью до множителя (— 2л) равно оператору Л(1(Е,
р, р), который соответствует вершинной диаграмме наинизшего
порядка, изображенной на фиг. 109, б, если там импульс фотона к
приравнять нулю1).
Очевидно, что из собственной собственно-энергетической диаграммы W путем
присоединения внешней фотонной линии к какой-либо внутренней электронной
линии W можно получить собственную вершинную диаграмму V. Как мы уже
видели, присоединению фотонной линии с равным нулю импульсом к
электронной линии формально соответствует дифференцирование функции
распространения, представляющей эту линию, по переносимому ею внешнему
импульсу р^. Поэтому дифференцирование оператора X (И7, р) по р^
присоединяет фотонную линию к каждой электронной линии, переносящей
импульс р, диаграммы И72).
1) Появление численного множителя —2at в выражении (16.84) становится
понятным, если вспомнить, что, согласно соотношению (16.30), оператор 2
(р, W) определен как матричный элемент, соответствующий диаграмме W,
который дополнительно помножен на множитель — г- . Точно так же напомним,
что оператор
(Алр
Лц, (j°i? Рз> F) был определен как оператор которым нужно заменить
матрицу в выражении
( - ii) (2я)4б№ {р^Р* ± к) 1ЩГ Sp Yp ^ (*2) -J2^T *V(*).
соответствующем простой вершинной диаграмме фиг. 109, а, чтобы получилось
выражение, соответствующее диаграмме V (фиг. 109, б). Отсюда оператор Л^,
соответствующий фиг. 109, б, равен
Л(1(д1, р2, F) = —2<хi ^ dikyvSF (Pl — k) y^Sp (р2 — к) yvDF (к).
2) Сделаем замечание по поводу собственных собственно-энергетических
частей, содержащих замкнутые контуры. Рассмотрим, например, диаграмму
фиг. 121. На этой диаграмме импульсы д2 и Рз можно выбрать не зависящими
от р. Однако к ним всегда можно добавить импульс р, не меняя значения
интеграла, поскольку переменные р2
и р3 суть переменные интегрирования. Если это сделать, то
дифференцирование по р
будет присоединять фотонную линию с импульсом, равным нулю, и к линиям
замкну-
того контура, и, следовательно, эти собственные вершинные диаграммы
учитываются
автоматически. В действительности они дают нулевой вклад на основании
теоремы Фарри: у замкнутого контура теперь будет нечетное число вершин, в
результате чего произойдет сокращение с вкладом от другой диаграммы, на
которой электрон-
ные линии замкнутого контура обходятся в противоположном направлении.
Другой способ рассуждений — ввести контурную переменную интегрирования t
,
592
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Если же мы просуммируем по всем собственным собственноэнергетическим
диаграммам, а затем продифференцируем по р, то мы получим сумму по 'всем
собственным вершинным диаграммам. Таким образом,
—5 = Л- (1в:86>
Это соотношение, связывающее операторы 2* и Лц, впервые было выведено
Уордом [815, 816].
Тождество (16.86) позволяет получить соотношение, связывающее функции S'F
и Г. Из (16.34) следует, что
(Sp (p))-^S-p1(p)-2*(p) = = 2я2^2* (р)) ,
и отсюда
1ST № О»»"1 = -Ш т? № О» - W =
= \ц + Лц(р, Р) = Гц(р, р).
Это другая форма записи тождества Уорда.
Несколько иной вывод, обнаруживающий связь тождества Уорда с требованием
калибровочной инвариантности, можно дать, основываясь на том, что
постоянный внешний электромагнитный потенциал передает нулевой импульс.
Рассмотрим собственный собственно-энергетический оператор 2* (р) (фиг.
122) в присутствии некоторого постоянного потенциала и обозначим его
через 21(р) (импульс р прежний!). Теперь разложим оператор 2„ (р) в ряд
по степеням внешнего потенциала
2Z(p) = l(p) + 2nea»Atl(p, /)) + ^-aV3p.(p, />)+••• • (16.89)
(16.87)
(16.88)
Однако на основании требования калибровочной инвариантности оператор
2*(р) должен также быть равен оператору 2*(р—еа), так что
2* (р) = 2* (р-еа) =
= 2* (р) - еа* ( ~+ -1 +.... (16.90)
W \ Эр* J а—о \ др^ л '
которая войдет в состав аргумента каждой электронной линии контура. Тогда
присоединение фотонной линии с равным нулю импульсом к линиям контура
получается при помощи дифференцирования по Интегрирование такого
подынтегрального выражения по переменной t^ даст нуль [815].
§ 6. Доказательство перенормируемости
593
Сравнивая разложения (16.89) и (16.90), получаем
(16.91)
(2 л.)- о prop-
(16.92)
Оператор S^v есть часть оператора, соответствующего комптоновскому
рассеянию фотона с нулевой энергией.
Связь между этими двумя методами вывода тождеств Уорда становится
очевидной, если заметить, что в обоих случаях имеется линия, переносящая
заряд, которая изменяется либо присоединением к ней фотона с равным нулю
импульсом, либо заменой ее импульса р на импульс р — еа, где е — заряд,
переносимый линией. Разумеется, тот факт, что заряд проходит через всю
