Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
где П —скалярная квадратично расходящаяся функция. На этот раз
вычитательная процедура определяется при помощи разложения
Д,(*. ,)=д,(0.9) + 4„(»|(^_0+14Л(™^>)1=0+Лрс(4.,).
(16.62)
Так как по сравнению с Вр (к, q) член Rpc (к, q) содержит дополнительно
третью степень q в знаменателе, то интеграл от него по q сходится.
Поступая аналогично тому, как это было сделано в случае собственной
энергии электрона, получаем с учетом требований ковариантности
H(W', A) = A1(lT') + Sltl(lT,)^ + Ctlv(lT')^A'’ + nc(W', к). (16.63)
Величины At, В^, C^v суть тензоры, имеющие одни и те же значения
компонент во всех лоренцевых системах отсчета, а отсюда следует
= 0, (16.64)
C|iv (W') — С (W') gfiV. (16.65)
Кроме того, калибровочная инвариантность запрещает появлен. постоянной
АДН7), и поэтому ее следует приравнять нулю. Таки образом, учитывая еще,
что (W') кУ = С (W') к2, можно записат
П (W\ к) = k2Dc (W\ к) + С' (W') к2, (16.66а
где
Dc (П7', к) = 0 при к2 — 0, (16.666)
а постоянная С (W') включена в С' (W).
*) Практически это разбиение осуществляется разложением Sp (р
— к) в Re по
формуле (Л-|-В)-1 = Л-l — Д-1ВЛ-1 +(Л-|-?)-1ВД-1 с Л = у-/с и
В = у-р— т.
§ 3. Отделение расходимостей неприводимых диаграмм
583
Наконец, поскольку имеется только одна неприводимая фотонная собственно-
энергетическая часть, получаем
П?(А2) = А2С1 + А2/}с(/, А2), (16.67)
где постоянная С' (17') обозначена через С/. Величина П* (к2) снова есть
вклад в П* от всех неприводимых фотонных собственно-энергетических
диаграмм.
Вершинная часть
Вклад вершинных частей самое большее расходится логарифмически. Поэтому в
данном случае в разложении Тэйлора для подынтегрального выражения
величины члены с производными не требуются и, следовательно,
Лц (7, ри p2) = LiL(V)+AilC(V, ри р2), (16.68)
где Ьу.{У) — постоянный расходящийся матричный оператор, а остаточный
член Л^с сходится и обращается в нуль при р4 = р2 = 0. Ковариантность
требует, чтобы
. Lll(V)=L(V)yil. (16.69)
Кроме того, при р4 = р2 и y-pt = m оператор Лц,с сводится к матрице
помноженной на постоянную. Это значение можно включить в член Т(К)уд.
Поэтому можно считать, что оператор Лдс в (16.68) равен нулю не при Pi~p2
= 0, а при у-р1 = у-р2 = т и pt = p2. Физический смысл этого утверждения
заключается в следующем: вели-
чина Лдс не дает вклада, когда электромагнитный потенциал является
постоянным, так как такой потенциал переносит нулевой импульс. Но именно
так и должно быть, поскольку постоянный электромагнитный потенциал всегда
можно устранить с помощью калибровочного преобразования. Далее, поскольку
ф (р) умф (р) есть 4-вектор тока электрона без учета радиационных
поправок, то величину ф (р) Гдф (р) можно интерпретировать, как 4-вектор
тока электрона с учетом радиационных поправок. Поэтому соотношение
(16.68) при сделанных предположениях означает, что весь статический заряд
включен в член (1+.1/)уд, поскольку при у-р = т, для свободного электрона
Лдс (р, Р, 7) = 0 и, следовательно, ф (р) Гдф (р) = (1 +?)ф (р) Уцф (р)-
Просуммировав соотношение (16.68) по всем неприводимым вершинным частям,
получаем
2 Лд(71, Pi, р2) =Лд1 (р4, р2) =-.1чУд-1-ЛдГС {Ри Р2), (16.70)
по всем неприводимым V?
где Lj —расходящаяся константа.
Формулы (16.57), (16.67) и (16.70) составляют основу для отделения
расходимостей в выражениях, соответствующих неприводимым диаграммам. Что
касается конкретных вычислений, то мы отсылаем читателя к статье Карплуса
и Кролла [422], где отделение расходимостей собственно-энергетической и
вершинной частей наинизшего порядка проведено явно. Изложенный метод
тождествен с методом, который разбирался в гл. 15, где мы обсуждали
перенормировку
584
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
радиационных поправок наинизшего порядка, используя, однако, для
отделения расходимостей регуляризованные выражения.
Теперь мы должны получить формулы, аналогичные формулам (16.57), (16.67)
и (16.70), для вклада в операторы 2*, П* и от приводимых собственных
диаграмм; в этих формулах конечные и бесконечные части снова должны быть
разделены релятивистски инвариантным и однозначным образом. На основании
соображений инвариантности ясно, что эти операторы должны иметь вид
2* (р) = (А — 2тЬт) + 2пВ (у -р — т) + Sc (р) (у -р — т), (16.71)
П*(А) = 2яСА2 + А2/)с(А2), (16.72)
Рг) — + Лдс (Pi, Рг)) (16.73)
где
$с(р) — 0 при у-р = т,
Лмс(р, р) = 0 при у.р = т (16.74)
и
Ос (к2) = 0 при к2 = 0, (16.75)
а А, В, С и L — расходящиеся константы.
Формулы (16.71), (16.72) и (16.73) дают лишь окончательную форму для этих
операторов. Однако прежде всего мы должны научиться отделять расходимости
в выражениях, соответствующих приводимым диаграм-' мам, чтобы получался
однозначный, ковариантный и сходящийся результат.
§ 4. Отделение расходимостей приводимых диаграмм
В предыдущем параграфе мы рассмотрели инвариантный метод Дайсона для
отделения расходимостей неприводимых диаграмм. Чтобы показать возможность
