Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы после фиксирования какого-либо одного из внутренних
37*®
580
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
импульсов соответствующий интеграл сходился. В самом деле, из определения
приводимой диаграммы следует, что приводимая расходящаяся диаграмма не
может быть примитивно расходящейся. Поэтому примитивные расходимости
соответствуют неприводимым (т. е. скелетным) диаграммам1), перечисленным
выше. Имеется только по одной неприводимой собственно-энергетической
части для электрона и фотона.
Фиг. 114.
Они изображены на фиг. 110. Что касается вершинных частей, то существуют
неприводимые вершинные части любого порядка. Пример неприводимой
вершинной части высшего порядка дан на фиг. 114.
§ 3. Отделение расходимостей неприводимых диаграмм
Дайсон [194] развил метод однозначного разбиения примитивно расходящихся
интегралов на конечную и бесконечную части. Это разбиение осуществляется
при помощи разложения подынтегрального выражения, соответствующего
примитивно расходящейся диаграмме, в ряд Тэйлора по внешним импульсам
[вспомните формулу (15.90) и, особенно, обсуждение после формулы
(15.89)]. Так, если R (р, I) — подынтегральное выражение, в котором р —
внешний, a t — внутренний импульсы, то разложение запишется в виде
ту/ ту /п f дП(Р> 0 Л I 1 fdm(P, t)\
Rip, t) = R (0,
(16.47)
Каждое дифференцирование увеличивает разность степеней t в знаменателе и
числителе на единицу. Поэтому если интеграл расходится логарифмически,
линейно или квадратично, то при почленном интегрировании разложения R
будут расходиться только один, два или три первых члена. Вид расходящихся
членов следует из релятивистской инвариантности. Теперь мы рассмотрим
отделение расходимостей в выражениях, соответствующих различным
неприводимым расходящимся диаграммам.
9 Это верно, если диаграмма, кроме того, является собственной.— Прим.
ред.
/
§ 3. Отделение расходимостей неприводимых диаграмм
581
Электронная собственно-энергетическая часть
Единственную существующую неприводимую электронную
собственноэнергетическую часть можно представить интегралом
2 (ТУ, р) = ^ Re(p, к)^к, (16.48)
который расходится линейно, поскольку [Re (р, к) ос е2у^ SF (р — к) y^Dp
(&)]. Разложение Тэйлора для этого случая берется в виде
Re (р, к) = Re (0, к) + р, (Щ~“~)р=0 + Нес (р, к). (16.49)
Поскольку выражение 2 расходится линейно, то интеграл от остаточного
члена ReC сходится, так как R,c содержит в знаменателе две лишние степени
по сравнению с подынтегральным выражением Re (р, к). Итак, выражение
(16.48) можно записать в виде
2 (ТУ, р) = A' (ТУ) + 5' (ТУ)р^ + 2С (ТУ, р), (16.50)
где А' (ТУ) и R^ (ТУ) — расходящиеся матричные операторы, не зависящие от
р. Так как величина 2 (И7, р) есть скалярная 4x4 матрица, то ее можно
разложить по шестнадцати линейно независимым матрицам Г:
2 (р) = 2S (р) + 2ум (р) у^- + ~ 2Tmv (р)о^[ + 2Р (р) у5 -f 2Л(* (р)
уму5. (16.51)
Релятивистская инвариантность требует, чтобы 2s(p), 2уц (р) и 2tmv (р)
были соответственно скалярной, векторной it тензорной функциями от
инварианта р2 и чтобы функции 2.4^ (р) и 2р(р) были равны нулю. Поскольку
единственным, имеющимся в нашем распоряжении вектором является вектор рм,
то 2У|1 (р) = рм 2ф (р2), 2Tmv (р) = P^Pv %т (р2) и, еле-, довательно,
если еще учесть, что a(ivplipv = 0, получим
2 (ТУ, р) = 2S (ТУ, р2) + у^ 2у (ТУ, р2), (16.52)
где мы опустили штрих у 2у. Сравнивая выражения (16.52) и (16.50),
находим
A' (ТУ) = 2S (ТУ, 0) (16.53)
(ТУ) = Y^2y (ТУ, 0) = у»В’ (ТУ). (16.54)
Кроме того, поскольку 2с — выражение сходящееся, то его можно
однозначно записать в виде
2С (ТУ, р2) = А" (ТУ) -f R" (ТУ) (у-р — щ) + (у-р — m) Sc (ТУ, р2),
(16.55)
где функция Sc(W, р2) для свободного электрона (т. е. при у -р = т и р2 =
т2) обращается в нуль. Пользуясь формулами (16.54) и (16.55), можно
переписать выражение (16.50) в виде
2 (ТУ, р) = А" (ТУ) + А' (ТУ) + R' (ТУ) у • р +
+ B"(W)(y-p-m) + (y.p-m)Sc(W, р2). (16.56а)
Если же ввести обозначения
А' (ТУ) + А" (ТУ) + тВ' (ТУ) = А (ТУ) (16.566)
и
В' (ТУ) + В" (ТУ) = В (ТУ) (16.56в)
582
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
и добавить вклад члена—бт:гргр:, то после суммирования по всем
неприводимым собственно-энергетическим диаграммам (на самом деле имеется
только одна такая диаграмма!) получим1)
2* (р) = Ai — ‘Imbrri: + Bi (у-р — т) 4- (у-p — т) Sc (I, р2).
(16.57)
Это и есть вклад неприводимой (/) собственно-энергетп^екои диаграммы в
2*(р). Для Аг в формуле (16.57) имеем
S A(Wi) = A(W) = AI
по неприводимым Wi
Аналогично, Bi = В (W) и т. д. Перенормировка массы определяется
таким образом, чтобы при у-р = т, т. е. у свободного электрона,
масса точно равнялась т. Поэтому
ф (р) 2| (W, р) ф (р) = 0 при у.р = т, (16.59)
откуда следует
Aj = 2m6nij. (16.60)
Фотонная собственно-энергетическая часть
Неприводимую фотонную собственно-энергетическую часть W', изображенную на
фиг. 110, б, можно представить интегралом
П(И", А)= J Bp(k, q)d% (16.61)
