Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
такой подход уже привел к новой формулировке, в которой фигурируют только
конечные перенормированные величины и структура которой проливает
некоторый свет на затронутые здесь вопросы [490, 493, 852]. Мы займемся
этими формулировками в гл. 18.
§ 2. Перенормируемость квантовой электродинамики
Теперь мы покажем, что идеи перенормировки заряда и массы фактически
достаточно, чтобы устранить все ультрафиолетовые расходимости в
разложении .S'-матрицы в квантовой электродинамике.
В § 1 мы видели, что условием расходимости интеграла, соответствующего
примитивно расходящейся диаграмме, является
где в данном случае Fe и Ве — числа внешних электронных и фотонных линий.
Это неравенство, как мы видим, означает, что имеется лишь конечное число
примитивно расходящихся диаграмм, снабжающих теорию
расходимостями. Причина заключается в том, что степень расходимости
интегралов, соответствующих этим диаграммам, не зависит от порядка
диаграмм. Программа перенормировок состоит в формулировке вычита-тельной
процедуры для устранения бесконечностей и в теоретическом оправдании этих
вычитаний. При изложении перенормировки квантовой электродинамики мы
тесно следуем двум оригинальным статьям Дайсона 1949 г. [193, 194], а
доказательство перенормируемости проводим согласно Уорду [817].
Прежде всего введем понятия связной, приводимой и неприводимой диаграмм,
а также вершинной и собственно-энергетической частей [194].
Диаграмма называется связной, если любая ее часть соединена с остальными
частями по меньшей мере двумя линиями. Вершинная часть определяется как
связная часть (состоящая только из вершин и внутренних линий),
соединяющаяся с остальной частью диаграммы двумя фермион-ными линиями и
одной фотонной линией. На фиг. 109, а показана простейшая вершинная
часть. Имеются также вершинные части V более высокого порядка (например,
приведенная на фиг. 109, б), которымиможно заменять любую вершину какой-
либо диаграммы G, причем получающаяся модифи-
^Fe + Be< 5,
О
5
Ф и г. 109.
574
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
цированная диаграмма G' снова будет иметь определенный физический смысл.
Матричный элемент, соответствующий G', можно получить, заменив в
матричном элементе, соответствующем диаграмме G, матрицу уц в некоторой
рассматриваемой вершине оператором Лц, (F, рь р2)> который зависит только
от структуры вершинной части V и от импульсов, соответствующих двум
фермионным линиям, посредством которых вершинная
Ф и г. 110.
часть соединяется с остальной частью диаграммы, т. е. от векторов-
импульса pi и р2 на фиг. 109.
Точно так же собственно-энергетическая часть W диаграммы G есть связная
часть (состоящая только из вершин и внутренних линий), которая может
вставляться в середину электронной или фотонной линии на диаграмме G,
причем получившаяся модифицированная диаграмма снова будет совместима с
правилами построения диаграмм Фейнмана. На фиг. 110 показаны простейшие
возможные электронная и фотонная собственно-энергетические части. На фиг.
111, а показана вставка электронной
Фиг. 111.
собственно-энергетической части в электронную линию р4 фиг. 109( б, а на
фиг. 111, б — вставка фотонной собственно-энергетической части в фотонную
линию к фиг. 109, б. Эти линии р4 или к для всей диаграммы в целом могут
быть внешними или внутренними. Специальный случай собственно-
энергетической части — собственно-энергетическая часть, состоящая только
из одной точки. Она соответствует члену —Ьт : гф(ж)гф(а:): в
гамильтониане взаимодействия (х).
Вместе с Дайсоном определим фурье-образ операторов ф и А следующим
образом:
гр (х) = ^ с1*ре-}р хгр (р), (16.25)
А» (х) = ^ (к). (16.26),
§ 2. Перенормируемостпъ квантовой электродинамики
575.
Функции распространения SF(p) и Dp(k) в настоящем параграфе всюду
определены по существу как фурье-образы функций SF(x) и DF{x). Явный вид
их следующий:
(16-27а>
11
= (16.276)
Если теперь модифицированную диаграмму, полученную с помощью одной из
указанных выше вставок в диаграмму G, обозначить через G', то тогда
сформулированные ранее правила для записи матричных элементов позволяют
заключить, что матричный элемент, соответствующий диаграмме G', можно
получить из матричного элемента, соответствующего диаграмме G, путем
следующих преобразований:
а) вставки электронной собственно-энергетической части W во внешнюю линию
электрона с импульсом pt:
ф (рд > Sр (р^ [2 {W, рх) — 2nibm] ф (р4), (16.28)
Ф (Pi) Ф (Р\) [2 {W, Pi) — 2nibm\SF{pi)\ (16.29)
б) вставки электронной собственно-энергетической части W во внутреннюю
линию электрона с импульсом pt:
GF (Pi) —> SF (pi) [2 {W, p^ — 2itibm\ SF (pi)\ (16.30)
в) вставки фотонной собственно-энергетической части W' во внешнюю линию
фотона с импульсом к:
А»{к) -> A»{k)Il(W', k)DF{k)- (16.31)
г) вставки фотонной собственно-энергетической части W' во внутреннюю
линию фотона с импульсом к:
DF (к)—> DF (к)П (W', к) DF (к)] (16.32)
д) вставки вершинной части V вместо простейшего вершинного оператора уц:
