Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
!) В представляющем наибольший интерес для практических применений случае
внешнее поле не зависит от времени. Тогда в формуле (15.200) SeF (pi, Р2)
заменяется на
4р {Ри Pi) —> б<1> (р10 -р2о) SeF (pt, р2).
\ dip2e~ipF^eiPi vsF {pt, р2), (15.200)
§ 7. Картина Фарри
539
В картине взаимодействия для связанных состояний Фарри среднее значение
тока по вакууму уже не равно нулю
— ~е(Ф^0, [фИ^Ую ^ (*)] Фро) =]р (х) Ф 0. (15.203)
Оно соответствует току, индуцированному в вакууме внешним полем, и
поэтому содержит все явления поляризации вакуума. Из того, что вакуумное
среднее оператора тока отлично от нуля, следует, что в формуле (15.193)
при разложении Г-произведений на нормальные произведения необходимо
включать спаривания в множителе */2 [ф^ (х) уд, ф.р(а:)],
входящем в выражение для S^fi- Как и в случае соответствующей задачи^для
свободных электронов, члены разложения могут быть пред-
Ф и г. 84.
ставлены диаграммами Фейнмана. Радиационные поправки второго порядка
представлены диаграммами на фиг. 84, причем функции распространения
электрона во внешнем поле изображены двойными линиями. Величина сдвига
уровня стационарного состояния ц>а в общем случае комплексна и в низшем
порядке теории возмущений определяется формулой
t
~^-ТАЕа= — ал ^ фа (х2) y^Sp (Х2: Xi) y^DF (х2 — Xi) фа (ац) dixidix2-
to
t
— an ^ <fa(x2) Удфa(x2)DF (x2 — xi) Sp [y^Sp (xu xi)]dixidix2 +
to
t
+ ibm ^ фа (xi) (fa (xi) dixi. (15.204)
<o
Ввиду того, что в статическом внешнем поле функция SeF (xt, х2) зависит
только от разности (х2 —Xi)0 временных компонент точек xt и х2, можно
ввести в первые два члена новые переменные интегрирования (х2 — ?i)o и
1l2(x2-{- xi)0, что позволит провести интегрирование по переменной
(x2Jrxl)0. Подынтегральное выражение в члене 6тп в формуле (15.204) ле
зависит от хь так что и здесь интегрирование по времени приве-
540
Гл. 15. Квантовая электродинамика
дет к множителю t — t0 = T. В результате получим
АЕа = iajt ^ фа (х2) y»Sp (х2, ay) уцфа (ay) DF (х2 — ay) Лу д?х2 d (х2 —
ау)0 — — гая ^ фа (х2) у^фа (х2) DF (хо — ay) Sp [у^к (ay, a:4)] X
Xd3xldsx2d(x2~xl)0—6m\ Луф0(ау) фа (ay). (15.205)
Энергетический сдвиг уровня а определяется вещественной частью АЕа.
Первый член выражения (15.205) содержит бесконечную собственно-
энергетическую часть, которая должна быть изолирована и уничтожена при
по внешнему по внешнему потенциалу потенциалу
а 6
Члены высших порядков по внешнему потенциалу
Ф п г. 85.
помощи члена 6т. Второй член также содержит бесконечную часть,
соответствующую перенормировке заряда, которая должна быть выделена и
устранена.
Выделение этих расходящихся частей может быть проведено при помощи
соотношения (15.202), которое соответствует началу итерационного
разложения функции Sp по степеням внешнего поля. Результат итерации для
функции распространения связанного состояния может быть наглядно
представлен (фиг. 85). Матричный элемент, соответствующий диаграмме а на
фиг. 85, содержит расходящуюся собственно-энергетическую часть, которая
взаимно уничтожается с членом Ьт в выражении (15.205). Более точно, в
рассматриваемом случае диаграмма а соответствует члену,
который пропорционален интегралу ^ фа (р)2<2)(р)фа (р), где оператор
2<2)(д) определяется выражением (15.71) и может быть записан в виде
(р) = (р = т) + А (р -т) + Ц>-т) 2}2) (р) =
= 2nibm + А (р — т) -j- {р — т) 2)2> (р), (15.206)
причем константа А бесконечна, а 2/2)(р) уже не расходится. Заметим, что
поскольку фа(р) не является дираковским спинором свободной час-
§ 7. Картина Фарри
541
чицы, а удовлетворяет уравнению
(у-p — т) фа(р) = —е Ц d3qy-a (p-q) сра (q), (15.207)
то второй член в уравнении (15.206) не равен нулю. Первый член, как
отмечалось выше, уничтожается с третьим членом выражения (15.205). Можно
показать, что вклад от члена А в (15.206) уничтожается с расходимостью во
вкладе от диаграммы б на фиг. 85. Аналогично, если в след второго члена
формулы (15.205) подставить выражение (15.202) для SeF (xi, х2), то
окажется, что первый член, содержащий Sp — х2), тождественно равен нулю,
тогда как второй член описывает эффекты поляризации вакуума слабым полем,
вычисленные в § 4. Поэтому появляющиеся здесь расходимости могут быть
изолированы и отброшены.
Читатель найдет четкое и понятное изложение деталей этих вычислений в
статьях Кролла н Поллока [466] и Баранджера, Бете н Фейнмана [26]; в них
показано, в частности, как производить ковариаитное выделение
расходимостей (ультрафиолетовых и инфракрасных) в проблеме связанного
состояния (см. также работу Миллса и Кролла [553]). Кролл п Поллок
исследовали влияние электромагнитных радиационных поправок на расщепление
сверхтонкой структуры. Это чрезвычайно важно потому, что наиболее точное
численное значение постоянной тонкой структуры получено путем измерения
сверхтонкого расщепления в водороде1). Баранджер, Бете и Фейнман
вычислили самый сдвиг уровня (лэмбовский сдвиг) и получили поправки от