Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
n', Е+ п', Е—
где в первом члене суммирование распространяется только на решения с
положительной энергией (Е -f), а во втором — на решения с
отрицательной энергией. Тогда оператор будет оператором
уничтожения
электрона в состоянии п, d(,P* — оператором рождения позитрона и т. д..
Это легко установить, используя свойства гамильтониана H[)F = V~1HqdV и,
в частности, перестановочные соотношения между ним и оператором b\P*.
Заметим, что разложение (15.191) имеет смысл только в случае достаточно
слабых полей, когда есть щель между положительными и отрицательными
собственными значениями энергии. В противоположном случае стабильного
вакуума |Ф^о) не существует (см. статьи Сиайдера и Вайнберга 173А[, Фарри
[292] и Салама и Мэтыоза [692]). Отметим также, что зависимость от
времени функции срп (х) выражается в виде ехр ( — гЕпх°), где Еп —
собственное значение энергии для собственной функции ср„ (х).
Решение уравнения (15.182) снова может быть записано в виде |YF(f2)> =
tfF(f2, П)!ЧЛ(П)>, (15.192)
§ 7. Картина Фарри
537
где UF(t2, П) определяется разложением Дайсона
со <2 ^2 ^2
(«2, П) = 2 (_ ^ ^ ^ " ' ii ^ X
n=0 ti ti ti
X T (36 fi (xi) 36 fi (x2) • • • 36fi (xn)), (15.193)
причем гамильтониан 36fi имеет вид
36fi(x)=—\e\^F(x)y^, i)jF (я)] AFfl (#) — bm [фг (a:), фг(я)]-
(15.194)
Рассмотрим теперь вектор состояния ' Фга) = &u,c)* | Фго) не
взаимодействующей с полем излучения системы, в которой содержится один
«голый» электрон в некотором связанном состоянии а и нет фотонов. Энергия
этого состояния равна Еа — собственному значению энергии,
соответствующему собственной функции сра оператора уравнения Дирака во
внешнем поле. Однако вследствие взаимодействия <36fi энергия этого
состояния изменится. Рассуждения проводятся точно так же, как в § 1, и
для изменения энергии АЕа состояния |Фга) мы фактически
получаем очень похожую формулу
e-iAKg(f2-fi)_ (°Fa’ L'f(12' ФфFa) [15 195)
(Фго, Up (*2. Ф Фго) ’
где разность времени t2 — ti должна быть взята большой и нужно усреднить
по всем осцилляциям на концах интеграла t2 и О- (Вспомните рассмотрение в
гл. 11, которое легко обобщить на случай, когда гамильтониан П0 имеет
связанные состояния.)
, Величина АЕа имеет как вещественную, так и мнимую части. Вещественная
часть соответствует сдвигу уровней вследствие взаимодействия с полем
излучения. Мнимая часть ДЕа отрицательна и соответствует распаду
состояния |Фга), возникающему при переходе электрона в состояние с
меньшей энергией и сопровождаемому излучением одного или большего числа
фотонов. Поэтому она определяет время жизни (или ширину линии) состояния
а. Мнимая часть АЕа равна нулю для основного состояния.
Можно снова анализировать оператор UF (t2, П) ПРИ помощи диаграмм
Фейнмана. Единственное отличие от проведенного ранее, анализа в картине
взаимодействия, когда нет связанных состояний, заключается в том, что
теперь в качестве спаривания фермионных множителей следует взять
— Т Sf (х2, xi) = (Фго, Т (фг (х2) фг (xi)) Фго) =
+ 2 ЧХ ЧХ (xi) для х20 > х10
п, Е+
- 2 фп(^2)фп(^|) для Жю > Яго- (15.196)
71, Е —
Функция SF больше уже не является функцией от разности пространственно-
временных координат. В случае статического поля она зависит от
пространственных координат х( и х2 в отдельности и от. разности времен t2
— П-
538
Гл. 15. Квантовая электродинамика
Функция —1/2SF{x, у) совпадает с функцией распространения
Фейнмана во внешнем поле Kf, которая обсуждалась в § 1 гл. 14. Она
удовлетворяет следующим уравнениям:
— eyv-A\{x) — т) SF (я, у) — — 2г6<4> {х — у), (15.197а)
idS% (х, у)
^ y^ + SF{x, y)[ey'lAll(y) + m]= — 2ib(i) {х — у), (15.1976)
которые вытекают из уравнений движения для операторов фр и фр и
определения (15.196). Дельта-функция в правой части уравнений возникает
при дифференцировании выражения (15.196) по времени. В самом деле, можно
записать
Т (фг (х) фк (у)) = -j [фр (х), фк(2/)Н-лге(х — у) [фр(ж), ФИ*/)1+,
(15.198)
и если применить к этому выражению операцию iy°d0, то множитель г {х — у)
даст 2гу°6(1> (х0 — у0). Благодаря наличию б (х0 — у0) можно использовать
канонический одновременной антикоммутатор для опера#-торов фр {х) и фк
(у), равный у°6<3) (х — у), и найти, что
(iy°da+i\-d — еуМ^ (ж) — тп) (Ф0р, Т (фр (ж) фр (у)) Ф0р) =
= (iY^n — eyv-A\(x) — m) SCF (x, y) =
= (Фок, т {{iyvdy, - eyv-A^x) — m) фр (x) фр (у)) Ф0р) + ibw(x — y) =
— ib ш(х — у), (15.199)
где при выводе последней строки использовано уравнение движения для
оператора фр (ж). Вывод уравнения (15.1976) производится аналогичным
образом. Вводя фурье-образы*)
Sf (я, у) = d*pi SF{p) = -^r----------— . (15.201)
vr/ (2rt)4 y-p — m y
легко записать уравнения (15.197a) и (15.1976) в импульсном пространстве.
Итерация этих уравнений приводит к следующему все еще точному уравнению:
Sf (Pi, Р2) = SF {pi) bw {pi - p2) + Sf (Pt) ey -a (pt -
p2) SF (p2) +
+ (^§г)2^ (Pi) [ \ A J dtq'ey-afa) X
X SF{Pi — У, P2 + q')ey-a(q')^SF(p2). (15.202)