Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
такие случаи, когда электрон находится в связанном состоянии или когда
разложение по степеням Za незаконно. Ясно, что эти случаи укладываются в
рамки шредингеровской картины, если^в качестве, невозмущенного
гамильтониана электронно-позитронного поля выбрать оператор
Н0 = ^ d3x : ф* (х) { — га • V -{- т} ф (х) : — е
(15.174)
где Л^х) описывает статический внешний потенциал, в котором находится в
связанном состоянии электрон. Гамильтониан, описывающий взаимодействие
между веществом и излучением, запишется в виде
Нг = — е ^ d3x : ф (х) ч^ф (х) : А^ (х), (15.175)
где Яд (х) — квантованный электромагнитный потенциал в шродинге-ровскои
картине. Собственные функции гамильтониана Н0 теперь являются векторами
состояния систем с определенным числом невзаимодействующих между собой
электронов и позитронов, которые находятся в одночастичных состояниях,
описываемых уравнением Дирака во внешнем потенциале (,т). Точнее говоря,
оказывается, что изложенный в гл. 8 метод квантования поля Дирака не
претерпевает существенных изменений, если в качестве гамильтониана
Н0ъзять оператор (15.174). При этом операторы поля ф* (х) и ф (х) следует
разлагать по полной системе решений уравнения Дирака во внешнем
потенциале Ае^ (х). Именно такая методика была использована в первых'
релятивистских вычислениях лэмбовского сдвига (см., например, работы
Френча и Вайскопфа [280] н Кролла и Лэмба [464]). Однако такой подход
нековариантен, и выделение расходимостей производится весьма
неоднозначным образом [464]. Метод Фарри позволяет достигнуть упомянутого
выделения в рамках ковариантиого формализма, причем эффекты внешнего
потенциала включаются в полевые переменные.
Рассмотрим снова уравнение движения для вектора состояния в картине
взаимодействия
^ da(x)eWI{x) |?(т)>, (15.176)
\ d3x:[ф* (х) (х) ф (х):,
$ 7. Картина Фарри
535
где е%?/ (х) —? плотность энергии взаимодействия (15.66). Мы написали
здесь уравнение Томонага—Швингера для случая плоской пространственно-
подобной поверхности, уравнение которой имеет вид
= т, (15.177)
гденр,— единичный вектор нормали к плоскости т. Если = (1, 0, 0, 0), то т
—это гиперплоскость t = const, da = dzx, и уравнение (15.176) приобретает
более привычный вид:
^Зж{—^-[^(а:)^, ip (я)] (А^ (х) + Аг ^ (х)) +
+ |-6те[гр(а:), ip(a:)]||Tr(i)) (15.178а)
= Hi (t) | Т1 («)). (15.1786)
Следуя Фарри, сделаем теперь следующее унитарное преобразование вектора
состояния l'F(i)):
\^F(t)) = V-1\W (t)). (15.179)
Тогда вектор состояния |ТД(1)) будет удовлетворять уравнению
тj wF(о> = [с-1 (о Hj (t)v(t) + mv-1 (t)-v(t)] \ wF («)). (is.iso)
Если выбрать унитарный оператор V {V* — F-1) так, чтобы он удовлетворял
уравнению
mv-1 (t) . F (f) = - ihV-1 (0 d(V (t) =
= +F_1(l) ^ dsx ~ [ip (x) -уЩ ip (x)] Ae[l(x)V {t) (15.181a)
X0=t
ИЛИ
ihdtV(t)=—^ dzx^\^{x)Vl, ^{x)]Ac]l(x)V {t), (15.1816)
x0=*
то вектор состояния |TV(1)) будет подчиняться уравнению
ibdt\xY F {t)) = ^ d3a:| — [фк (z) V\ Фк (я)] AI,lx(x)~
XQ=ct
-уйтгёг(я), %r(*)]}|4V(0>, (15.182)
где преобразованные операторы ipF и AF определяются формулами ipF (х) =
F'1 (if) гр (x) V (t) (x0 = ct) (15.183)
и
AFlx (x) = V~* (t) A^ (x) V (t) (x0 = ct). (15.184)
Они удовлетворяют тем же одновременным перестановочным соотношениям, что
и операторы ip и Л(1.
Выведем уравнение движения для оператора ipj?(x). Для этого
продифференцируем формулу (15.183) по х0 = ct и используем уравнение
(15.181). Тогда мы получим
50фк (х) = doF-1 (t) • ip (х) V (t) 4- F-1 (t) ip (x) dtV (t) + F_1 (t)
d0ip (x) • V (t) =
= — V-1 (t) [ — dsx'~ [ф (x') у», ip (x')] A^ (x'), ip (x) ] F (t) +
*'=t
+ V~1(t)d($(x)-V (t). (15.185)
536
Гл. 15. Квантовая электродинамика
Вычисление коммутатора в уравнении (15.185) дает у ^ #х'][ф (х') Ф
(х')] Ф (х)] А\{х') =
х’0=с t
= г jj d3x’S(x — х) уМД (х') г|; (х') = — (х) ф (х), (15.186)
так как —iS(x-x’) при t = t' равно у°6<3> (х — х'). Учитывая, что
оператор ф (х) в картине взаимодействия удовлетворяет уравнению
<90ф (х) = ( — у°у- д — iy°m) ф (х), (15.187)
и объединяя члены, наводим, что оператор ф^ подчиняется следующему
уравнению:
(iy^-m) фр (х) =-^-уМ'Дх) фГ (х), (15.188)
т. е. он удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем электромагнитном поле
НД(х). Аналогично, поскольку операторы (х) и ф (х) коммутируют, то
-4П1(х) =А(1(х), (15.189)
так что
? Лг,й(х) = 0. . (15.190)
Картина, характеризуемая уравнениями (15.182), (15.188) и (15.190),
получила наименование картины Фарри, или картины взаимодействия для
связанных состояний, так как она может быть использована для решения
задач для связанных состоянии.
Проведем рассуждения, которые позволят нам убедиться в этом. Пусть {ф„
(х)) есть система решений уравнения (15.188) в пооператорном смысле,
причем индекс п определяет квантовые числа состояний (которые могут быть
как связанными состояниями, так и состояниями рассеяния). Разложим
оператор ф;.(х) по системе функций ср„(х):
Фк (х) = У Ъ{п\п{х)^г S <4(,)*фп 0е), (15.191)
