Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
34 с. Швебер
530
Гл. 15. Квантовая электродинамика
электродинамике. Эти методы применяются для вычисления радиационных
поправок низшего порядка к большинству элементарных процессов рассеяния с
участием электронов и фотонов.
Впервые радиационные поправки были вычислены к кулоновскому рассеянию
электрона (если не считать лэмбовского сдвига, относящегося к проблеме
связанных состояний). Именно на примере этого процесса мы
продемонстрировали метод перенормировок. Радиационные поправки к
резерфордовской формуле рассеяния были впервые выведены Швинге-ром [7131.
Вычисление проводилось в первом борновском приближении как по
кулоновскому полю, так и по полю излучения. Для справедливости этого
приближения требуется не только выполнение условия а< 1, но и Za -С 1
(где Z — заряд ядра). Эффективное сечение рассеяния (с включением
радиационных поправок) получается обычным образом из квадрата модуля
амплитуды перехода
(вспомните вывод формулы Резерфорда в гл. 14). Использование выражения
(15.1566), однако, не может быть вполне корректным, так как в матричном
элементе М содержится в пределе ^мпн -* 0 инфракрасная расходимость [см.
(15.89)].
Выход из этой трудности уже указывался в § 4: наряду с безрадиа-ционными
процессами рассеяния электрон с отличной от нуля (и фактически
бесконечной) вероятностью испускает фотоны в процессе рассеяния. Во
втором порядке имеются две такие диаграммы (фпг. 72), одна из которых
соответствует процессу, в котором электрон сначала рассеивается на
внешнем потенциале, а затем излучает фотон, а другая описывает обратный
процесс, когда электрон сначала излучает фотон, а потом уже рассеивается.
При помощи правил, приведенных в гл. 14, легко записать матричные
элементы, соответствующие этим диаграммам. Для перехода, сопровождаемого
излучением фотона с 4-пмпульсом к и поляризацией е(?-)(к) [/с• е<?-> (к)
= 0], они равны
Рассмотрим теперь случай, когда испускаемый фотон очень мягкий, т. е. к0
•€ т и Jk|<jpjj, |р2|. Вспоминая, что
R — + 2лiu (р2) Ми (р±),
(15.156а)
где
М = {уv + Acv (Р2, Pi) — -^з [П (q2) — П (0)] yv} eav (q)
(q = p2 — Pi) (15.1566)
= — 2лiu (p2) Myu (pi)
и
R2 = — 2лiu (p2) ^ ey • a (p2 — pi + к)
y-(Pi — k) + m (Pl — k)2 + m2
— 2лiu (p2) M2u (pj).
(15.1586)
y.py.q= — y.qy.p + 2p-q ,
(15 159)
§ 6. Применения
531
и учитывая, что в рассматриваемой задаче
кг = О,
{У'Р\ — т) и (Pi) = 0 (pl = m2),
и(р2)(у-р2 — т) = 0 (р1=т2),
(15.160а)
(15.1606)
(15.160в)
получаем
где /?(a)(pt, р2) дается выражением (15.67). Отсюда следует, что вероят
пость рассеяния электрона из состояния с импульсом /ц в состояние с
импульсом р2 с излучением одиночного фотона с энергией в интервале между
0 и АЕ < т и произвольной поляризацией равна
Из выражения (15.162) ясно, что эта вероятность логарифмически расходится
на нижнем пределе. Если изменение импульса электрона мало, j q j = | р± —
р21 С т, то возможно дальнейшее упрощение результата путем перехода к
системе отсчета, в которой электрон и в начальном, и в конечном-
состояниях в хорошем приближении покоится; в этой системе
Тогда множитель под знаком модуля в выражении (15.162) имеет числитель,
равный (р2 —- Pi) • = q-еб). Учтем теперь только поперечные
кванты (только они и могут быть излучены) и усредним по всем направлениям
вектора к. Тогда мы получим
причем нижний предел интегрирования по к в выражении (15.162) заменен на
ктт. Величина АЕ теперь относится к лоренцевой системе отсчета, в которой
электрон, по существу, покоится. Исключая эту величину, все остальные
множители релятивистски инвариантны. (Вычисление, справедливое при любой
начальной энергии и любом измерении импульса электрона, см. в статьях
Йоста [400] и Швингера [712], а также Блоха и Нордсика [62].)
Вероятность рассеяния электрона из состояния и (pj) в состояние и (р2)
без излучения фотона равна квадрату модуля выражения (15.156),
3 Д Е
3 АЕ
pt-k= р2-к «а тк0.
(15.163)
2
так что
(15.164)
(15.165)
'532
Гл. 15. Квантовая электродинамика
или в явной форме х)
| R |2 = j + 2лш (р2) [М(а) -Ь eAvC (р2, Pi) аУ (р2 — р4)] и (р4) |2 =
= \R{a)(Pi, р2) |2 + 2лШ(а) (pi, р2) и (p2)eAcv(P2, Pi) av (р2 - Pi) и
(Pi) -
— 2ni (и (p2) eACv (p2, Pi) аУ (p2 — Pi) и (p4)) /?(а) (p2, Pi),
(15.166)
где опущены члены порядка е8. Из формулы (15.88) следует, что имеющая
инфракрасную расходимость часть Avc (назовем ее AlvC) вносит в выражение
(15.116) множитель
+ 2лш (р2) eAcv {Рг, Pi) аУ (р2 — pt) и (р4) =
=ЖСЬ ) 1 + 2яй (Pz) eY'? “ {Pr~ Pi) U (Pi) ] =
= РЛ (15-167)
(снова при условии, что изменение импульса |qj мало). Поэтому, выписывая
только инфракрасно расходящиеся части второго и третьего членов, можно
представить формулу (15.166) в виде
|яг_|я“(й, «Г+??(^)|в‘*,0<.. /О!2- (15.168)
Сопоставляя выражения (15.168) и (15.165), можно усмотреть (см. для
сравнения также статью Бете и Оппенгеимера [49]), что сумма | R |2 и | R'
|2, т. е. полное эффективное сечение для всех возможных в е6-при-ближении
