Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
неприводимые представления ортогональной группы классифицируются парой
индексов (/, t), где второй индекс является собственным значением Т_,
соответствующим данному представлению. При целых / имеем t — ± 1 (ибо Т\
= I), так что существуют два различных неприводимых представления
ортогональной группы. В одном из них Т_ = в другом Т _ = —I.
При / = 0 представление одномерно, каждый элемент группы отображается
единичным элементом, а генераторы тождественно равны нулю. Представление,
в котором Т_ = назовем скалярным, а то, в котором Т _ = —I, —
псевдоскалярным.
При j = Уг представление группы вращений двумерно, и генераторы Mf1^
могут быть реализованы эрмитовыми матрицами Паули сг*, умноженными на
/41:
Таким образом, в представлении веса / = г/2 оператор поворота на угол 9
вокруг оси 3 записывается в виде
Они удовлетворяют соотношению
GiOj = б ij -f- iEijhGh.
(1.101)
оо
цу2) (0) = ты*) (0, 0, 0) = = 2 (у юУ°з =
п=0
(1.102а)
§ б. Вращения и внутренние степени свободы
35
Аналогично, в представлении / = 1/2 записываются и операторы поворотов на
угол 0 вокруг осей 1 и 2:
ту/2) (О) = f(Va) (0, о, 0) = eVziecri = cos iQi sin-|- =
(1.1026)
ft1/2) (0) =з TWa) (0, 0, 0) = = cos-5-+ iCT2sin-|- =
(1.102b)
Отметим, что матрицы Zi1/2) (0) (i = 1, 2, 3) унитарный имеют
детерминант, равный единице. Отметим также, что поворот на угол 2л вокруг
любой оси дает
гГ/2)(е + 2л)= -т11/2)(0). (1.ЮЗ)
Таким образом, представление двузначно, и соответствие между элементами
группы и операторами можно выразить R(%) —> ± Т (X). Для
квантовомеханических приложений представляют интерес’ представления,
определенные с точностью до множителя, поэтому такие двузначные
представления вподне допустимы.
При / — 1 представление трехмерно, и в качестве матричного представления
генераторов Mf' можно взять матрицы Аи определенные выше в виде (1.79а) и
(1.796). Обычное же квантовомеханическое представление для Jt при /= 1
имеет вид
/ц
1 °\
0 Ч’ /2
1
Z1 0
/з = | 0 0
0
(1.104)
Оно унитарно эквивалентно представлению, полученному для iAy. /г соот-11
ветствуют базису -^(хД-iy), z, (х— iy), вместо обычного декартова
базиса х, у, z.
Величины |, которые при вращении системы координат
• х' = Rx - (1.105)
преобразуются по закону
l' = T^(R)l, (1.106)
называют скалярами при/ = 0, спинорами 1-го""ранга при ) =
1/2, векторами при /= 1 и т. д. При бесконечно малых
поворотах на угол е вокруг
/-Й оси закон преобразования (1.106) принимает вид
Г/ ,Л , АППК
36
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
Таким образом, скаляр есть однокомпонентная величина, которая при
вращениях х —> Rx преобразуется по закону ? —> = ?. Спинор
1-го
ранга является двухкомпонентной величиной
которая при бесконечно малых поворотах на угол е вокруг l-й оси
Как было отмечено выше, при вращениях на любой конечный угол спинор 1-го
ранга преобразуется при помощи унитарной матрицы размерностью 2)<2 и с
детерминантом, равным единице. Наконец, вектор является трехкомпонентной
величиной
компоненты которой (? = 1, 2, 3) при вращении (1.105) [преобразуются так
же, как сами координаты.
Для свойств тензоров и спиноров при отражениях имеет место следующая
классификация. При целых / имеются два типа величин, преобразующихся при
отражениях по Г_ = / и по Г_= — I. Величины, преобразующиеся с помощью
ТО’) = (— 1)5+1, называют псевдовеличинами. Так, псевдоскаляр — это
величина, преобразующаяся при отражениях по закону ?—> I'= —Аналогично,
псевдовектор (или аксиальный вектор) —это величина, которая при отражении
(1.72) преобразуется по закону |—> 1/ = 1-Для спиноров мы имеем несколько
более запутанную ситуацию. О ней будет сказано после введения понятия
сопряженного спинора.
Сопряжение спинора ? выполняется обычным образом путем транспонирования и
комплексного сопряжения. Таким образом, при / = 1/г спинор ?*,
сопряженный к ?, имеет вид
При бесконечно малом повороте вокруг l-й оси он преобразуется по закону
Теперь определим скалярное произведение для спиноров^ которое позволит
нам строить из спиноров определенные комбинации. Скалярное произведение
двух спиноров % и I определяется согласно’
Из спиноров можно составить новые величины, которые имеют определенные
трансформационные свойства при вращениях. Так, величина %*? при
бесконечно малом повороте (1.109) преобразуется согласно
(1.108)
Xj > Xj — X jS Si jfiXfi
(1.109)
преобразуется по закону
(1.110)
(1.111)
S* = (?i, Ы-
(1.112)
(1.113)
2
%*Ъ = 2 Xih-
(1.114)
i=l
y*l х'*?' = х*^1 jE(T^ +i_jE(T^g =
+ О (e2) (по l суммирования нет) (1.115)
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
37
т. е. как скаляр. Доказательство 'для конечных поворотов столь же просто:
так как Г(1/2) (X) при любом % представляется унитарной матрицей
размерности 2 X 2, то х*? —> Х*'?' = y*TWt)*TWt)l = %*1- Аналогично
проверяется, что величина %*аЛ при вращении (1.109) преобразуется, как
вектор
Х*оЛ Х*Ч'5' = X* (4 — °j(1 +yieoz^)g =
