Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
П{в) — I -beiAj -f- е2А2 + е3Л3 + О (е2) = 1 +егЛг + .. . . (1.91)
Соответствующий оператор представления запишем
Т (е) = Т (е4, в2, е3) = / -j- EjAfj -f- е2М2 + е3М3 -f- О (е2),
(1.92)
где Mi образуют представление генераторов алгебры Ли и удовлетворяют
перестановочным соотношениям
lMt,Mj]=-emMh. (1.93)
Теперь покажем, что оператор Т (X) при произвольном X полностью
определяется генераторами Ми М2 и Мг, а также к, и выражается через эти
величины следующим образом:
Т (Xi, l2, Xs) = еИ^1+ЬМ2+я3м3_ (i.94)
Доказательство-. Так как два поворота вокруг одной и той же оси
коммутируют, то
R (sk) R (tl) = R ((s + f) I) (1.95)
и, следовательно,
T(sX)T(a) = T((s + t)X). (1.96)
Дифференцируя обе части этого равенства по s, заменяя в правой части
дифференцирование по s дифференцированием по t и полагая всюду
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
33
s = 0, получаем, воспользовавшись формулой (1.92),
Т (tX) ‘Т №8=0 = (MiXi + М^2 + Мз^з) Т W- (L97)
Уравнение (1-97) есть дифференциальное уравнение, определяющее Т (?к).
Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (1.74) 7’(0)
= /, как раз и дается выражением (1.94).
В унитарных представлениях операторы Т унитарны а, следовательно,
операторы антиэрмитовы:
M*j=-Mp (1.98)
Поэтому операторы Jt — —iMx будут эрмитовыми. Они удовлетворяют обычяЬш
перестановочным соотношениям для операторов момента количества движения
[^г, Jni\ i&imnJn' (1.99)
Проблема нахождения всех неприводимых представлений группы вращений
эквивалентна нахождению всех возможных совокупностей матриц /1, /2> /з,
удовлетворяющих перестановочным соотношениям (1.99). Ясно, что
каждое неприводимое представление непрерывной группы является также
представлением в окрестности единичного элемента
(бесконечно малые преобразования), хотя обратное необязательно
справедливо. Вообще же если мы найдем все неприводимые представления
группы G в окрестности единичного элемента, т. е. найдем все
представления генераторов, то мы получим все неприводимые представления
самой группы, Рлементами которых будут экспоненты вида (1.94). Однако
возможно, что некоторые из полученных этим способом неприводимых
представлений группы G непрерывны не на всей группе, а только в
окрестности единичного элемента. Эти разрывные представления должны быть
отброшены.
В теории представлений групп, осуществляемых комплексными матрицами,
фундаментальное значение имеет лемма Шура (см. статью Вигнера [865]), в
которой доказывается, что необходимое и достаточное условие для
неприводимости представления состоит в том, чтобы единственными
матрицами, коммутирующими со всеми матрицами представления, были матрицы,
кратные единичной. Предположим, что алгебра Ли группы G содержит элемент
А, который коммутирует со всеми другими элементами алгебры Ли. Пусть
отображение g->T (g) будет представлением G,
действующим в векторном пространстве V. Генераторы ^s-^s—0 = а
образуют представление алгебры Ли группы G. Генератор, который в этом
представлении соответствует элементу А, коммутирует со всеми другими
генераторами а, а значит со всеми операторами Т (g). Такие коммутирующие
элементы называются инвариантами группы. Тогда на основании леммы Шура
представление может быть неприводимым тогда и только тогда, когда
векторное пространство, на котором определено представление, натянуто на
множество собственных функций, соответствующих одному собственному
значению этого коммутирующего оператора. Далее, если мы нашли все
независимые инварианты группы, выбрали по одному собственному значению' у
каждого из инвариантов и построили представление, действующее в
пространстве, натянутом на соответствующие собственные функции, то это
представление неприводимо, так как каждый
.34
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
инвариант в этом представлении кратен единичной матрице и, по
определению, нет других операторов, которые коммутировали бы со всеми
элементами группы. Таким образом, каждому набору собственных значений
всех инвариантов соответствует одно и только одно неприводимое
представление. Поэтому проблема классификации неприводимых представлений
группы сводится к нахождению спектра собственных значений инвариантов
группы.
В случае группы вращений со всеми генераторами коммутирует оператор /2 =
J\ + J\ + /д, и поэтому он является инвариантом группы. Его собственные
значения, как хорошо известно из теории оператора момента количества
движения, равны j (/ +1), где / = 0, Mr, 1, 3/2, 2, . . . . Таким
образом, каждое неприводимое представление характеризуется положительным
целым или полуцелым числом j, включая 0. Размерность неприводимого
представления равна 2/ -)- 1 при любом весе /, целом или полу-целом.
Переходя к классификации неприводимых представлений ортогональной группы,
заметим, что линейный оператор Т_, соответствующий операции отражения
i?_, коммутирует со всеми вращениями. По лемме Шура в каждом неприводимом
представлении он должен быть кратен единичному оператору. Таким образом,
