Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
результат п поворотов на угол 0/я. Поэтому мы можем написать
R(3) (0) = Иш (\ + — Ид Y = евАз.
п-*со ^ п У
(1.77)
Аналогичным образом можно определить генераторы вращений вокруг осей 1 и
2. Так как
/ cos 0 Д«>(0)=:| — sin0
V 0
то явным видом для А 3 будет
4, = 4-^(0)
е=о
и аналогично
sin 0 L
COS0 0
0 1
0 1 °\
-1 0 0
0 0
(° 0
= ° 0
\1 0
(1.78)
(1.79а)
(1.796)
Можно проверить, что генераторы П,(г= 1, 2, 3) удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
[Ah Aj]=-eljkAk, (1.80)
где еijk — полностью антисимметричный тензор 3-го ранга с компонентами,
равными -(-1, если Ijk есть четная перестановка 1 2 3, равными — 1, если
перестановка нечетная, и равными нулю в остальных случаях. Следует
отметить, что оператор отражения R_ (1-72) коммутирует со-всеми
вращениями
\R-,Ai] = 0 (i = l, 2,3). (1.81}
Вращения вокруг фиксированной оси образуют коммутативную
однопараметрическую подгруппу группы вращений. В общем случае
однопараметрическая подгруппа а (t) некоторой группы G является «кривой»
группы (т. е. непрерывной функцией от вещественной линии в G), такой, что
a (t) a (s) = a (t + s). (1.82)
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
31
Ясно, что а (0) = е — единичный элемент, а (—t) = [а (г)]-1 и a(s)a(t) —
a(t)a(s). Для групп, которые мы будем рассматривать (группа вращений и
группа Лоренца), окрестность единичного элемента (бесконечно малые
преобразования) может быть «заполнена» сегментами однопараметрических
подгрупп, причем у любой пары таких сегментов общим элементом является
только единичный. Под сегментом понимается совокупность элементов a (t),
соответствующих значениям | t |, меньшим некоторого фиксированного
значения. Рассмотрим теперь производную а (t), взятую при а (t) = е, т.
е. элемент
»=(т)1=„. (1-83)
который аналогичен выражению (1.75), приведенному выше. Если кривые a (t)
и b (t) имеют соответственно производные а и Р, то кривая с (t) = a (t)b
(t) обладает производили a -f- (3. Совокупность производных является
векторным пространством относительно сложения и умножения на скаляры. Оно
замкнуто относительно скобочной операции, обозначаемой [а|3] и
определяемой согласно
)?=«• ^-84)
Скобочная операция [оф] обладает свойствами антисимметрии при
перестановке а с р и линейности по каждому множителю, а также
удовлетворяет тождеству Якоби
j [сф]=-[ра], (1.85а)
МР + У)]'=[ар].+ [ау], (1.856)
[[«PI Y] + [[Ya] Р1 + ПРУ] а] = 0. (1.85в)
Это векторное пространство с определенной сейчас операцией
умножения называется алгеброй Ли группы. Размерность алгебры
Ли равна
размерности группы. Каждому элементу а алгебры Ли соответствует
единственная однопараметрическая группа a (t) = expai [ср. формулу
(1.77)]. Для групп матриц скобочная операция [ар] есть коммутатор а и (1,
т. е. [аР] = [а, Р] = ар—Ра. Если в этом случае линейно независимую
совокупность элементов алгебры Ли размерности п обозначить
через а;
(г = 1, 2, . . ., п), то свойство замкнутости выразится соотношением
П
[аг, аД = 2 c\ak, (1.86)
А=1
где постоянные коэффициенты с^. являются так называемыми структурными
константами, характерными для группы. Доказательство (1.86), имеющее лишь
эвристическое значение, моя<ет быть проведено следующим образом: нужно
показать, что левая часть (1.86) принадлежит к нашей алгебре Ли и,
следовательно, мож'ет быть выражена в виде линейной комбинации а;.
Рассмотрим элемещ
/ , \ SC&4 iCt • — SCC . — t<X ?! /А 0^7 \
c(s,t) = e ie oe ге J (1,87a)
r
(здесь нет суммирования no i и /), который при бесконечно малых s и t
принимает вид '
c(s, t)= 1 + s?[a;, а7-]-[- ... (1.876)
32
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
Заметим, что элемент c(s, t) однозначно определяется параметрами s и t.
При бесконечно малых s и t должно иметь место представление
п П п
c{s, «)== l + s( S d*ah) + t ( 2 d^ah) + sf ( 2 d^ak) + . . . . (1.88)
k~i k—\ k~i
Так как с (0, t)=c(s, 0)=1, то d^ = d^ = 0 при всех к. Таким образом,
сравнивая оба разложения, получаем
П
[а*, а,-] = 2 d*ak, (1.89)
k=i
что и доказывает (1.86). Очевидно, что d% зависят от i и / и могут быть
записаны как с!1..
и
Представление алгебры Ли есть соответствие а —> Л (а), которое каждому
элементу а алгебры сопоставляет линейный оператор А (а), действующий в
векторном пространстве V таким образом, что
Л(а + Р) = Л(а) + Л(Р), (1.90а)
Л(са) = сЛ(а), (1.906)
? А ([сф]) = [А (а), А (Э)] = А (а) А ф) -Аф)А (а), (1.90в)
т. е. скобочная операция отображается коммутатором, который автоматически
удовлетворяет (1.85). Представление алгебры Ли группы однозначно
определяет представление самой группы. Проиллюстрируем эти замечания на
примере группы вращений.
Алгебра Ли группы вращений состоит из трех линейно независимых операторов
А2 и А3, удовлетворяющих соотношению (1.80); и эти операторы порождают
однопараметрические подгруппы вращений вокруг трех пространственных осей.
Бесконечно малый поворот вокруг в на угол | е | может быть записан в виде
