Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 19

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 373 >> Следующая

V всегда можно определить так, чтобы представление группы вращений в V
было унитарным2), т. е. так, чтобы все операторы Tg были унитарными T*g =
Т^1 = Tg~4. Далее, изучение таких унитарных пред-
0 Мы всегда будем рассматривать только непрерывные представления, т. е.
такие представления Tg, для которых (v, Тg w) является непрерывной
функцией g для каждой пары векторов v, w из V. При этом предполагается,
что скалярное произведение в векторном пространстве V определено.
2) Возможность введения такого скалярного произведения существенно
зависит от конечности объема группы, т. е. от ее компактности, так как
скалярное произведение содержит интегрирование по группе. Грубо можно
говорить, что группа матриц компактна, если матричные элементы каждого
элемента группы (т. е. матрицы, представляющей этот элемент группы)
ограничены. Это так в случае группы вращений, но уже не справедливо в
случае группы Лоренца [ср. формулы (1.78) и (2.10)].
Те = 1
(1.73а)
И
(1.736)
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
29
ставлений компактных групп может быть сведено к изучению неприводимых
представлений. Если у V существует подпространство Fb инвариантное
относительно Tg, то тогда ортогональное дополнение F4, F^, т. е.
совокупность всех векторов, ортогональных к Ft, также инвариантно
•относительно Тg.
ствие унитарности Tg. имеем 0 = — (TgVi, Tgw). Теперь, по пред-
положению, ТgVi = v[ снова является элементом V±, и (v[, Tgw) = О для
любого Tg, а значит и для всех Tg. Поэтому совокупность векторов Tgw для
всех w из VТ являются элементами F4-, и, следовательно, FT инвариантно
относительно Tg. Таким образом, F разложилось на два инвариантных
подпространства. Во многих случаях этот процесс может быть продолжен,
пока не останутся только неприводимые представления. Для компактных групп
(и поэтому, в частности, для группы вращений) известно •(см., например,
книгу Понтрягина [648]), что этот индуктивный процесс разложения
инвариантных подпространств на инвариантные подпространства имеет предел.
Все неприводимые представления являются конечномерными и любое
представление есть прямая сумма1) неприводимых конечномерных
представлений. Наконец, следует отметить, что интерес представляют только
неэквивалентные неприводимые представления. О двух представлениях Т и Т'
говорят, что они эквивалентны, если существует такое взаимнооднозначное
соответствие v<—* v' между векторами пространств представлений, что если
v соответствует v', то вектор Tv соответствует вектору T'gv' для всех g и
для всех пар векторов ник'. •Это взаимнооднозначное соответствие может
быть представлено (унитарным) оператором М, так что v' = Mv и v = М'1 v'.
Для эквивалентных представлений МТgv = T'gv' = МТgM~lv' для всех v. Таким
образом, два представления эквивалентны, ейли существует такой оператор
М, что T'g = МТ gM~x. Два эквивалентных представления могут
рассматриваться как реализации одного и того же представления в терминах
двух различных базисов в векторном пространстве.
Далее, каждое вращение является вращением вокруг некоторой оси, так что
оно может быть характеризовано заданием оси вращения, т. е. оси, вокруг-
которой осуществляется поворот и величины угла поворота. Таким образом,
вращение может быть задано вектором к, направленным вдоль оси вращения и
равным по величине углу поворота. Так, вращение вокруг оси 1 задается
вектором (к, 0, 0), вокруг оси 2 — вектором (0, X, 0) и т. д. Очевидно,
что вектор вращения ^ = (Xl5 к2, к3) имеет | к | < я и что векторы
вращения, описывающие все возможные вращения, заполняют шар радиуса я.
Различные точки внутри шара описывают различные вращения, а две
диаметрально противоположные точки на поверхности шара — одно и то же
вращение, и должны быть отождествлены. Таким образом, элемент группы
может рассматриваться как функция к, т. е. g = g (^), и то же относится к
представлению: Tg = T(k). Вектор X = 0 соответствует тождественному
преобразованию
то говорят, что D — прямая сумма и D2, и записывают это в виде
2)=2)102)2.
Доказательство: Если Vi— элемент Vu a w — элемент F^, то вслед-
Т(0) = /.
(1.74)
*) Пусть D, Dlt D2 .— три квадратн&е матрицы; тогда, если
30
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
В дальнейшем фундаментальную роль будут играть бесконечно малые-вращения
вокруг той или иной оси. Их важность связана с тем, что они порождают
однопараметрические подгруппы и что любое конечное вращение может быть
построено как последовательность бесконечно малых. Следует также
отметить, что бесконечно малые вращения коммутируют друг с другом, тогда
как конечные вращения в общем случае не коммутируют. Пусть R(3) (0) будет
матрицей поворота на угол 0 вокруг оси 3, и пусть определена матрица
Л, = 4гД(3,(0) |е=о. (1-75)
dQ
Оператор Л3 называют генератором вращений вокруг оси 3. При бесконечно
малом е можно записать
Rt3> (е) = 1 -f- А3е + Члены порядка е2. (1.76)
Теперь вращение R(3> (0) на угол 0 вокруг оси 3 может рассматриваться как
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed