Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
унитарное представление найдено, то оно фактически может заменить
волновое уравнение для системы. Так, если гейзенберговский вектор
состояния | Т)н, использовавшийся выше для описания нашей системы в
системе отсчета О, совпадает со значением шредингеровского
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
27
вектора состояния | Y (0)}s в момент времени t = 0, то шредингеровский
вектор состояния в момент времени t0 может быть получен преобразованием к
системе отсчета О', в которой t' = t — t0, а другие координаты не
преобразованы. Если L — это преобразование, то
|Y(g>s = f/(L)|Y(0)>s. (1.68)
Таким образом, определение всех унитарных представлений неоднородной
группы Лоренца (см. работы Вигнера [857], Баргманна и Вигнера [31],
Широкова [726, 727]) эквивалентно нахождению всех возможных
релятивистских волновых уравнений.
Чтобы сделать эти идеи ясней, мы рассмотрим в следующем параграфе
представления трех- и четырехмерной групп вращений.
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
Связь между координатами точек трехмерного пространства для двух
наблюдателей, системы координат которых повернуты друг относительно друга
вокруг общего начала, имеет вид
(1.69а) (1.696)
(Мы будем придерживаться соглашения о суммировании по парным индексам.)
Длина вектора и угол между векторами остаются неизменными при вращениях,
т. е.
x[y'i = xlyi. (1.70)
•Следовательно,
RRT = RTR = I, (1.71)
т. е. вращения представляются ортогональными матрицами. Из (1.71)
?следует
det RRT = det RT det R = (det R)2 = 1,
так что для матриц, удовлетворяющих (1.71), det R = +1. Преобразования,
для которых det R= +1, называют собственными преобразованиями или
вращениями, а те, для которых det R = —1, называют несобственными
ортогональными преобразованиями. Примером несобственного преобразования
является отражение в начале координат, которое представляется матрицей
— 1 0 0\
0-1 0 , (1.72)
' 0 0 -1/
причем (R-)2 = +1. Преобразование 7?_ соответствует переходу от правой
системы координат к левой. Каждве несобственное преобразование R' с det
7?' = —1 может быть записано в виде (R'R_) R , т.
е. как отражение 7?_, вслед за которым уже выполняется
вращение; в самом деле,
det = det R' -det R- = (—l)2 = -|-1. Совокупность всех вращений
в евклидовом трехмерном пространстве образует группу — группу вращений.
Группа всех вращений вместе с отражениями называется ортогональной
группой. Так как каждый элемент группы может быть охаракте-
х = Rx
или
) < _ v -
Xi ? 2j rikXk — ТIhX’h-
fe=l
28
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
ризован заданием трех непрерывно изменяющихся параметров (напримерТ
направляющих косинусов оси, вокруг которой совершается вращение,, ц угла
поворота), то группа вращений является непрерывной трехпараметрической
группой. Число параметров группы называется размерностью группы. Мы хотим
определить все представления группы вращений.
Вообще представление какой-либо группы G есть отображение (соответствие),
сопоставляющее каждому элементу g из G линейный оператор Тg, действующий
в некотором векторном пространстве V, и притом такое, что сохраняется
таблица умножения для группы, а единица е группы G отображается
тождественным преобразованием / в V1). Это означает, что если е, gu g2,
g3 и т. д. суть элементы G и если этим элементам сопоставлены линейные
операторы Гр, Tgv Tgi, Tgs и т. д., действующие в V, то эти операторы
образуют представление группы G, при условии, что
Если Тg представлены матрицами, то говорят о матричном представлении. В
квантовой механике в действительности представляет интерес сопоставление
элементу группы целого луча, когда и Tg и exp (iag) • Tg, где ag
произвольная вещественная константа, соответствуют одному и тому же
элементу группы. В этом случае выражение (1.736) заменяется на TgiTgi =
(о (gi, g2) Теш. Однако Вигнер показал [865], что при помощи подходящей
нормировки от сопоставления луча можно прийти к однозначному
соответствию. Баргманн [34], кроме того, показал, что для групп,
представляющих интерес для физических приложений (группа вращений, группы
Галилея и Лоренца) при подходящем выборе Тg (напомним, что Tg и Тg exp ia
представляют один и тот же элемент группы) о» либо равна + 1
(ограниченная группа Лоренца и группа вращений), либо может быть выражена
довольно простым образом (группа Галилея).
Подпространство Г4 пространства V называют инвариантным подпространством
относительно представления Tg, если все векторы v в преобразуются по Tg в
векторы к', снова принадлежащие Vi, и это справедливо при всех
преобразованиях Тg. Если единственными подпространствами V, инвариантными
относительно представления g—^Tg, являются все пространство и
подпространство, состоящее из одного нулевого вектора, то говорят, что
представление является неприводимым.
Существует теорема, которую мы приведем без доказательства (см. работы
Гельфанда и Шапиро [300] и Вигнера [865]),, что скалярное произведение в
