Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
[Ч1)) и |Фо) суть два состояния, а | Vo-) и |Фо') получены путем их
преобразования, то
) |(Т0, Фо)|2 = \(W0; Фо')!2- (1-62)
Если все лучи в гильбертовом пространстве различимы, то из (1.62) следует
(см. статью Вигнера [865]), что соответствие | Ч'Ъ) —» [Чго')
осуществляется унитарным или антиунитарнымJ) оператором U (О', О), т. е.
| W0') = U(0', 0)| Wo), (1-63)
где U зависит от систем координат, между которыми он устанавливает
соответствие, причем U {О7, О) — I, если О7—О.
~ Постулат 3 теперь означает, что U может зависеть только от соотношения
между двумя координатными системами, а не от внутренних свойств каждой из
них. Например, для преобразований Лоренца О (O', О)' должно быть
тождественно с U (О"7, О"), если наблюдатель О'" так относится к О", как
наблюдатель О7 к О, т. е. если О"’ получается из О" тем же-
преобразованием Лоренца L, которым О' получается из О. Если бы это было
не так, то существовало бы внутреннее различие между системами О', О и
О’", О". С точностью до множителя, равного по модулю единице, оператор U
полностью определяется преобразованием L, которое переводит О в О7. Мы
пишем
1 Чг0') = U (L)[ Чго), (1.64)
где U (L) = I, если L — тождественное преобразование, т. е. если О и О7 —
одна и та же координатная система. Если рассмотреть три эквивалент-
!) Напомним, что оператор U называют унитарным, если для каждой пары
векторов f иХ в гильбертовом пространстве йК’имеем (Z7?[ U%) = (?, %) и
каждый вектор Ф в а№ может быть записан в виде Uср, где ср принадлежит Из
этого определения и свойств скалярного произведения следует', что U
является линейным оператором, причем существует обратный^оператор Н-1,
равный эрмитово сопряженному оператору U~1=U*. Оператор U называют
антиунитарным, если для каждого. ? и у из &€ имеем
(Н?, НХ) = (?Л) = (Х, ?).
Антиунитарный оператор поэтому аптилинеен:
U[d] ?>+р | X)]=aU | ?>+рН | 3(>.
Отметим, что произведение двух антиунитарных операторов унитарно.
:26
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
ные системы отсчета, то мы должны получить одно и то же состояние,
переходя из первой системы отсчета О во вторую O' = L^O, а затем в третью
О" = Ь20', или прямо переходя из первой в третью: О" = ЬъО,
jL3 = L2L1. ' (1 .-65)
Поэтому откуда следует
Wo-) = U (L2) U (Lt)j Wo) = U (L3)\ Wo), (1-66)
U(L3) = (o(L2,L1)U{L2)U{Li), (1.67a)
*7(1) = I, (1.676)
где со — число, по модулю равное единице, которое может зависеть от Li и
Ь2 и возникает из-за неопределенного множителя с модулем единица у
векторов состояния. О совокупности U, удовлетворяющих (1.67а) и (1.676),
говорят, что они образуют (унитарное или антиунитарное) ?«представление с
точностью до множителя» группы преобразований, относительно которой
наблюдатели эквивалентны. Например, в специальной теории относительности
такая группа есть группа неоднородных преобразований Лоренца. Таким
образом, приходим к математической проблеме нахождения всех представлений
(с точностью до множителя) интересующей группы.
Из постулата 2 и из того, что все системы отсчета, которые могут быть
получены преобразованием симметрии, эквивалентны для описания систе--мы,
следует, что вместе с | То) состояние U (L) | То) также должно быть
возможным состоянием физической системы с точки зрения наблюдателя О.
Таким образом, релятивистская инвариантность требует, чтобы пространство
векторов, описывающих возможные состояния квантовомеханической системы,
было инвариантным относительно всех релятивистских преобразований, т. е.
наряду с каждым вектором | Т) оно должно содержать все векторы U (L) |
Т"), получающиеся при всех релятивистских преобразованиях L. Такая
формулировка дает конструктивное выражение релятивистской инвариантности
(см. статью Баргманна, Вигнера и Уайтмана [33]): исходные и
преобразованные состояния относятся теперь к одной и той же системе
отсчета. Заметим, что для преобразований симметрии, которые могут быть
получены непрерывным образом из тождественного (т. е. без отражений),
преобразованные состояния могут всегда быть получены из первоначального
состояния некоторым реальным физическим воздействием на физическую
систему. Рассмотрим, например, преобразование Лоренца вдоль оси х со
скоростью и. Состояние, полученное преобразованием из | То), есть *7 (к)
I То). Это то состояние физической системы, которое видит наблюдатель О'.
Однако оно является также возможным состоянием для системы с точки зрения
наблюдателя О и может быть реализовано, если придать физической системе
скорость —v вдоль оси я. Что касается отражений, например отражения
времени, то в общем случае нет такого способа реализации. Инвариантностью
теории относительно такого преобразования симметрии фактически
постулируется существование преобразованного состояния, но не обязательно
дается процедура для его реализации.
Для квантовомеханических приложений важность нахождения всех унитарных
представлений релятивистской группы обусловлена тем, что если такое
