Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
21
Решая это дифференциальное уравнение, получаем
<q'|p') = ^P''q\ (1.37)
где с точностью до постоянного фазового множителя, по модулю равного
единице, X = (2лГ)~3/г; это следует из требования, чтобы
^ (q'|p')dp'(p'|q") = (q'|q") = 6<3)(q'-q"). (1.38)
Таким образом, волновая функция Т- (q') = (q' j Т-) в конфигурационном
пространстве связана с волновой функцией Ф(р) = (р/|ТГ) в импульсном
пространстве посредством обычного преобразования Фурье:
4r(q') = (q'|4r>= \ dp'<q'|p'>(p'|Y> =
(2я Ь)
г ' '
\ ф'е*4 Р Ф(р'). (1.39)
Гамильтонов оператор Н для нерелятивистской свободной частицы, в
сущности, может быть определен, если потребовать, чтобы он был
инвариантным относительно сдвигов и вращений и преобразовывался, как
энергия, при преобразованиях Галилея. Инвариантность относительно сдвигов
означает, что Н не зависит от координаты q частицы. И поэтому он является
функцией только р, а с учетом инвариантности относительно вращений —
функцией только р2. Принцип относительности Галилея тогда требует, чтобы
Я = . (i-40)
где то —масса частицы. Собственные функции \Е) оператора Н определяются
уравнением
Н | Е') — Е' [ Е'). (1.41)
Соотношения полноты и ортонормированности теперь запишутся в виде
jj dE'\ Е')(Е’ | = 1, (1.42а)
{Е'\Е') = б (Е'-Е"). (1.426)
Явный вид собственных функций оператора энергии легко может быть найден в
q-представлении путем решения уравнения Р2
<q'
2т
='<Ч'-| Е') = Е' (q' | Е'). (1.43)
Так как Н и р коммутируют, то можно найти общие собственные функции этих
двух операторов. Легкр проверить, что в случае частицы, движущейся в
одном измерении, такой собственной функцией, соответствующей собственным
значениям.? и р = уг2тЕ, является
(,|?, р)-С(Е)е^\ <‘-44>
Нормировочный множитель С (Е), определенный так, чтобы выполнялось
условие (1.426), дается выражением
Ы-45)
22
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
Таким образом,
{q\E, />) = (2avh)-y^V2mEg, . (1.46)
где опущен постоянный фазовый множитель, равный по модулю единице, и где
v является скоростью частицы: v = y2Elm. Отметим, что для частицы,
описываемой вектором состояния \Е), вероятность иметь координату в
интервале между q и q + dq равна ] (q \ Е) |2 dq, что пропорционально
dq/v, т. е. времени, затрачиваемому на отрезок пути dq.
Наконец, в шредингеровской картине эволюция частицы во времени
определяется уравнением
ibd*\’ ^ = ^:р21; (1-47)
которое в q-представлении имеет вид
i}ldtW(q-, t) = -~^VlW(q- t), (1.48)
где Y(q; t) = {q\\ t).
Этацы, ведущие к уравнению (1.48), можно кратко описать,
сказав,
что в соотношении, связывающем энергию и импульс свободной
нереля-
тивистской частицы
г4р- I1-49»
Е заменяется оператором ibdt, а р —оператором градиента, помноженным на —
ih:
E-*ibdt, (1.50)
р—> —ibV, (1-51)
и получающееся операторное равенство применяется к волновой функции Y (q;
t), описывающей частицу.
Решение уравнения (1-47) имеет вид
|; 0=е-?^(,-'9)|; *о). (i-52)
Таким образом, оператором сдвига во времени U (t, 10) в этом случае
является оператор ехр ?------^Е~5т^—^ q-представлении можно
записать
(q|; 0= § dq0(q|t/(*, У1чо)(д01; *<>), (1-53)
или эквивалентно
Y(q; t)= ^dq0K(qf, q0t0) Y (q0; t0), (1.54)
где
K(qt; q0t0) = {q\U (t, t0) | q0) =
= l2^o5" ) <fp4P'<4~40V^^r<'-'0\ (1.55)
Из того, что U (t, t) = 1, следует условие К (qt; q0t) = 6<3) (q — q0),
которое явно удовлетворяется выражением (1.55) и требуется для того,
чтобы (1.54) при t = 10 превращалось в тождество. Дальше, выражение
(1.52)
§ 4. Симметрии и квантовая механика
23
определено только при в связи с чем К также определено
лишь
при ?>?0- Удобно принять, что К = 0 при t < t0.
Это условие можно
учесть, записав
K(qt; q0t0)--=Q(t — t0)(q\U(t, *o)|qo). (1.56)
где 0(f) —функция Хевисайда, определяемая согласно
0 (t) = 1 при t > 0,
j =0 при t < 0, (1-57)
так что
= (1.58)
Из (1,56) теперь легко вывести дифференциальное уравнение, которому
подчиняется К:
ihdtK{qt\ q0t0) = ihd(t — t0)(q\U(t, t0) | q0) + ihQ (t — t0) (q | dtU
(t, t0) | q0) =
= ihb(t — i0) 6<3) (q - q0)—2mT fa*! Чо^о), (1-59)
где учтено, что U (t, ?) = 1. Здесь К — функция Грина, которая дает
решение задачи Коши для нерелятивистского уравнения Шредингера,
описывающего движение свободой частицы.
§ 4. Симметрии и квантовая механика
В данном выше «выводе» уравнения Шредингера для свободной частицы
существенную роль играло требование инвариантности гамильтониана
относительно некоторых преобразований. Сейчас мы несколько более подробно
проанализируем роль, которую играют принципы инвариантности в
формулировке квантовой механики (см. статьи Баргманна, Вигнера и Уайтмана
[33], Вика [850] и особенно Вигнера [859, 862, 863, 864], а также
Хагедорна [354] и Уайтмана [855]).
Возможность извлечь законы движения из хаоса окружающих нас явлений
основывается на том, что
а) для данной физической системы можно создать поддающуюся регулировке
совокупность необходимых начальных условий и, что более существенно,
