Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
то преобразованное состояние ] Фя) окажется’независящим от времени, т. е.
д(|Фн)=0. С учетом унитарности оператора V(t) среднее значение оператора
Fs выражается через состояния |Фн) следующим образом:
</0 = №(*), Ws(0) = (V(0Vs(0. v(t)Ws(0) =
= (Фя, УО^'МОФн). (1-20)
Определим теперь оператор FH (t) согласно
FH(t)=V(t)F8V-l(t), ' (1-21)
так что Fjj(0 будет иметь то же среднее значение в состоянии |Фя), что и
оператор Fs в состоянии lYg). Дифференцируя (1.176) по времени, получаем
соотношение
(dtV)V* + VdtV* = 0, (1.22)
§ 3. Нерелятивистское уравнение для свободной частицы
19'
используя которое совместно с уравнением (1.19) и эрмитово сопряженным
ему уравнением, можно вывести уравнение, определяющее времен-ную
зависимость Fh (0:
Полученное уравнение вместе с условием независимости вектора состояния от
времени dt | Фи) = 0 и определяют гейзенберговскую картину движения.
Вектор состояния в гейзенберговской картине один и тот же для всех
моментов времени; напротив, операторы зависят от времени. Вектор
состояния системы |Фц) описывает всю историю системы, т. е. результаты
всех возможных экспериментов над системой на протяжении ее истории.
Однако если выполнить реальный эксперимент над системой, то вектор
состояния изменится. Хотя гейзенберговский вектор состояния |Фн) не
зависит от времени, он может быть задан по результатам, которые он должен
предсказывать для некоторого эксперимента в некоторый фиксированный
момент времени. Например, мы можем выбрать вектор состояния так, чтобы он
совпадал со значением шредингеровского вектора состояния в момент времени
t = 0, т. е. | Фд) = | *Fs (0)).
Для замкнутой системы, у которой гамильтониан Hs от времени не зависит,
унитарный оператор, осуществляющий преобразование от шредингеровской
картины к гейзенберговской, выражается явно в виде
где сделано предположение о совпадении картин в момент времени t = 0.
Отметим, что для замкнутой системы Hs = Нн = Н.
Для описания физической системы часто бывает удобным фиксировать систему
координат в гильбертовом пространстве, т. е. выбрать представление. Так
как предполагается, что любая наблюдаемая имеет полный набор собственных
функций, на которые натягивается некоторое подпространство гильбертова
провтранства векторов состояний, то эти собственные функции можно
использовать в качестве базиса в этом подпространстве. Представление, в
котором диагоналей оператор координаты1) q, называется координатным, или
q-представлением; представление, в котором диагоналей оператор импульса
р, называется импульсным, или р-представлением. В q-представлении вектор
состояния j У) задается своими компонентами, отнесенными к базисным
векторам ) q), которые являются собственными функциями оператора
координаты. Компоненты (q | Чг) имеют прямой физический смысл: ((ql^F))2^
есть вероятность того, что при измерении координат частица будет найдена
между q q + dq. Собственные функции удовлетворяют уравнению
dtFH (0 = {dtV) ? V*FH (t) + FH (t) VdtV* = = jr [VHSV*, FH(t)] =
= -j- [Hh, Fh (*)]•
(1.23)
(1.24)
§ 3. Нерелятивистское уравнение для свободной частицы
q|q'> = q'|q'>>
(1.25)
!) Автор употребляет термин «оператор положения». — Прим. ред.
20
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
а спектр оператора q состоит из точек трехмерного евклидова пространства.
Собственные функции |q') не нормируемы, так как они соответствуют
собственным значениям, принадлежащим непрерывному спектру; но их можно
нормировать на б-функцию
<q'|q") = 6(3>(q'_q"). (1.26)
Реальным физическим состояниям соответствуют нормируемые векторы
состояния, являющиеся волновыми пакетами. Так, частица, локализован-.ная
в окрестности q', может быть представлена вектором
I >=^q7(q'-q„')l q'>, (1-27)
где функция / (q'— q'o) как функция q' в основном сосредоточена в
окрестности q'. Норма вектора | ) равна
<|>=$dq'7(q')/(q'). (1.28)
так что состояние | ) будет нормируемо, если / квадратично интегрируема.
Условие полноты можно записать следующим образом:
S |q')dq'(q'| = l. (1.29)
Вид оператора р в q-представлении получается с помощью перестановочных
соотношений [qi, pj] = ihbij. Если от этого коммутатора взять
матричный элемент между состояниями |q') и (q''| и
воспользоваться
(1.29), то получим
(q" 1 [Яг, рЛ | q') = ih6rs6a> (q' - q") =
= (g"r-g'r)<q"\Ps\q'), (1.30)
и, следовательно, вспоминая, что хб' (х) = — б (х), найдем
<q* i Ps I q > = - & -щ (q" I q')- (i .31)
Подобным же образом импульсное представление характеризуется базисом
векторов, обладающих следующими свойствами:
Pi Р ) = Р I Р ), (1-32)
<р'1р")=6<з>(р,-р’,)1 (1.33)
J |p')dp'(p'l = l. (1.34)
Представление же для оператора q получается в виде
(Р"Ыр') = ifc^r(P"|P')- (1-35)
Унитарная функция преобразования (q') р') от q-представления к р-пред-
ставлению может быть найдена, если скалярно умножить уравнение (1.32) на
(q'|:
p'(q'|p') = (q'lp|p')= J (q'|p|q")dq"(q"|P') =
= — ihVq' (q' I p'). (1.36)
§ 3. Нерелятивистское уравнение для свободной частицы
