Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
5
%i = 2 Si (а-ф Ааирг) (а_г|з3Ога_г|з4) =
г=1
5
= 2! Si (^М+Ога-грг) (Фза+°;а-Ф4) + э. с. (10.128)
i=i
При этом a+Oid- = 0;а+а_ = 0 для Ог = 1, у5, о^, так как эти Ot
коммутируют с у5. С другой стороны, когда 0, = ^ и Oi — iytly&,
а+0; = 0;а_,
так что
^1= 2 Si (ФАя-фг) + Э. с. (10.129)
i=V, А
но поскольку i \ц\5(1 — 1^5)= — "Vn (1 — hi), то
<^г = С(ф1у(щ_ф2) (ф3уаа_ф4)_|-3. с., (10.130)
что и является «К-Л»-взаимодействием.
§ 7. Теорема эквивалентности
В этом завершающем главу параграфе мы исследуем, в какой мере
эквивалентны псевдоскалярная и пссвдовекторная связи. Хотя эти два типа
связи имеют фундаментальные различия (псевдоскалярное взаимодействие
характеризуется безразмерной константой связи и перенормируемо, а
псевдовектарное взаимодействие не перенормируемо и его константа связи
имеет размерность длины), тем не менее при разложении до определенного
порядка по константе связи оба взаимодействия приводят к одинаковым
результатам (см. статьи Дайсона [192]. Кейса [110, 111] и Фолди [267]).
В шредингеровской картине гамильтониан мезонного и нуклонного полей,
взаимодействующих посредством псевдоскалярной связи, имеет вид
Н = ^ dsxty* (a*p-|- $М) ф (х) 4- ^ dsx {я2 (х) V<p. Vcp (х)
+ р2ф2 (х)} +
-j- G ^ (х). (10.131)
Мы рассматриваем только нейтральное мезонное поле. Обобщение на случай
симметричной мсзонной теории не представляет труда. Произведем теперь
унитарное преобразование гамильтониана
ir = eisHe~iS (10.132)
с таким оператором X, чтобы исключить член с псевдоскалярной связью, а
вместо него ввести член’ с псевдовекторной связью. Такое преобразование
упрощает переход к нерелятивистскому гамильтониану. В этом параграфе, за
исключением специально оговоренных мест, мы будем работать в
шредингеровской картине.
294
Гл. 10. Взаимодействие межу полями
Предположим, что эрмитов оператор S может быть записан в виде [192, 267,
44]
4
S = ^ d3;n|)*s\|) (х) = ^ d?x 2 Фа^рфр (10.133а)
СС, 3=1
s (х) = iy$w (ф (х)), (10.1336)
где да —функция только от ф, а Ys = у°уху2у3 — антиэрмитова матрица,
квадрат которой равен —1. Нужно отметить, что в спиновом пространстве S
является с-числом, а не матрицей и поэтому коммутирует с любой матрицей
Дирака.
Для вычисления используем следующий прием, к которому мы уже прибегали в
§ 3 гл. 7. Определим
ф'(х, Я) = eiSH)5 (х) e~is%. (10.134)
Тогда оператором, который мы хотим найти, является ф' (х, 1), а непре-
образованным оператором является ф' (х, 0). Далее,
Wk = ?*5> Ф (х)] e~iS% = i [J, ф' (х, X)]. (10.135)
Учитывая, что перестановочные соотношения
(Фа(х), ф?(х')]+ = 6а(36<3)(Х-х'), /10 136^
[фа (X), фр (х')]+ = [ф„ (X), фр(х')]+ = 0
инвариантны относительно унитарного преобразования (10.132) и что ф и ф
коммутируют между собой, и используя выражение (10.133а), получаем
[5, фо(х, Я)] = ^ dax' 2 [фа*(х'> Я)5аРфр(х', Я), фд(х, Я)] =
ар
= — 2 soP^Hx- ^)= -1^Ф'(Х> ^)]е- (10.137)
Р
Уравнение (10.135) теперь приобретает вид
Эф' (х, Я) ЭЯ
— гяф'(х, Я) (10.138)
и после интегрирования дает
ф' (х, к) = е~{1!Яф' (х, 0). (10.139)
При получении выражения (10.139) мы использовали начальное условие, что
ф' (х, 0) является непреобразованным оператором. Преобразованный оператор
дается выражением
е*®ф (х) e-lS = е~“ф (х). (10.140)
Так как оператор s, согласно определению (10.1336), эрмитов, s = s*, то,
эрмитово сопрягая последнее равенство, получаем
е«Яф* (х) e~is = ф* (х) els. (10.141)
§ 7. Теорема эквивалентности
295
При вычислении Н' по формуле (10.132) окажется очень полезным следующее
соотношение:
eiSQe-is = q+ J_ [St Q] + ^- [S,[S, <?]] +
+ -Ц-1 S,IS,[S,Q]]] + ... (10.142)
Это равенство легко доказать путем разложения ехр (iSX) Q ехр (— iSX) в
ряд Тэйлора около точки К = 0.
Так Kait операторы ф (х) и ф (х') коммутируют между собой, а оператор S
коммутирует с любой матрицей Дирака, то
eiS фМ + СРу5ф (х))ар e~iS = фМ + СРу5ф (х))ар, (10.143)
где индексы аир означают, что мы рассматриваем соответствующий элемент
уматРиЦ (эти матричные элементы являются числами!). Поэтому, используя
равенства (10.140), (10.141) и (10.143), находим
Hi — eis ^ d3x 2 (х) фМ + СРу5ф (х))а3 ф3 (х) e~is =
ар
= \ d3x 2 (Ф* (х) eis)a фМ+ Сру5ф (х))аР (е~иф (х))э =
ар
= ^ с?3жф* (х) eis фМ + Сру5ф (х)) е~“ф (х). (10.144)
Далее, учитывая антикоммутативность матриц р и у5, можно преобразовать
множитель Рехр( — is) следующим образом:
СО СО
pe-is = ре+Т5ш(Ф) = 2 P(Y5)™-St= 2 (Ys)" ( — 1)" Р = eisp. (10.145)
п=0 п~ 0
Аналогично,
PY6e-is = eispy5, (10.146)
так что равенство (10.144) может быть приведено к виду
Hi = ^ й3жф* (х) e2ls фМ + СРу5ф (х)) ф (х). (10.147)
Путем таких же выкладок мы получим
Н2 = elS ^ d3xф* (х) а • рф (х) e~iS =
= ^ сРжф* (х) е^а-ре^ф (х). (10.148)
Мы не можем переместить множитель ехр ( — zs) дальше, так как операторы р
= — tV и ф (х) не коммутируют. Однако вспоминая, что матрицы а и у5
коммутируют, и используя соотношение (10.142), можно записать
3 3
etsa*pe”ls = 2 elsaje~ls elspje~ls = 2 a;els/^e'ts = a-p — a-Vs. (10.149)
