Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
в данный момент времени может быть получена, если известна функция
состояния системы. Эта функция состояния представляется лучом в
комплексном гильбертовом пространстве. Следовательно, если [ 4я) есть
вектор, представляющий физически реализуемое состояние, то это же
состояние представляет и вектор | 4я), помноженный на постоянную. Поэтому
обычно для описания состояния из числа векторов, принадлежащих лучу,
выбирают один, нормированный на единицу. Условие нормировки такого
вектора состояния J Ч*-) записывают в виде ( Ч*- j^F) = 1, обозначая
через ( % | Ч*-) = ( Ч^ % ) скалярное произведение векторов [ X) и [ Ч*1
)1). Если состояние нормировано, то остается неопределенным лишь
постоянный множитель, по модулю равный единице. Два вектора, отличающиеся
на такой фазовый множитель, представляют одно и то же состояние.
Предполагается, что совокупность состояний образует линейное
пространство. Это предположение о линейности пространства векторов
состояния называют принципом суперпозиции, являющимся, по-видимому,
наиболее фундаментальным принципом квантовой механики.
Второй постулат квантовой механики состоит в том, что каждой измеримой
(т. е. наблюдаемой) величине а системы соответствует самосопряженный
оператор а = а*, обладающий полной системой ортонор-мированных
собственных функций | а' ) и собственных значений а , т. е.
Символ Ьа: а" понимается как символ Кронекера, если а и а" принадлежат
дискретному спектру, и как 6-функция Дирака б (а — а"), если оба они
принадлежат непрерывному спектру. Правая часть (1.2) равна нулю, если
одно из состояний принадлежит непрерывному, а другое дискретному спектру.
Аналогично, суммирование в соотношении пол-
Д Мы будем также использовать для скалярного произведения обозначение (/,
g)\ к будет обозначать величину, комплексно сопряженную с к.
а | а) — а' \ а'), (а' | а") = 6а'а",
(1.1)
(1.2)
(1.3)
2| а') (а' | = 1.
а'
14
Тл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
ноты (1.3) для непрерывного спектра следует понимать как интегрирование.
Следующий постулат состоит в том, что если произведено измерение для
определения значения наблюдаемой а, то вероятность обнаружить у системы,
описываемой вектором состояния ), значение а, равное а', равно величине j
( а' | Y ) |2. Другими словами, (а | Y ) есть амплитуда вероятности-
наблюдения значения а'. Наблюдение над системой, вообще говоря, будет
возмущать систему и, таким образом, изменять вектор состояния системы.
Если в результате измерения над системой мы найдем, что наблюдаемая а
имеет значение а', то вектором (ненормированным), описывающим систему
после измерения, будет ] а' ) ( a' j W ). Поэтому повторное измерение,
сделанное сразу же вслед за первым, снова даст значение а наблюдаемой а.
Строго говоря, эти утверждения верны только в случае наблюдаемой с
невырожденным дискретным спектром собственных значений. Однако эти
правила легко могут быть распространены на более сложные случаи.
Таким образом, измерение величины а вызывает переход системы в одно из
состояний, являющихся собственными функциями оператора а. Однако
теоретически можно предсказать только вероятность перехода системы из
данного состояния | Ч^) в любое из этих собственных состояний. Если
действительно имеется физическая система, находящаяся в состоянии [ Ч^),
то измерение позволяет проверить предсказанные вероятности. Как способ
(и, по-видимому, наиболее характерный) приготовления системы в данном
состоянии можно рассматривать измерение первого рода, т. е. измерение,
которое, будучи повторено немедленно вслед за первым, дает вновь тот же
результат.
Обычно для определения состояния системы нужно произвести несколько
независимых измерений. В соответствии с этим в квантовой механике
предполагается, что всегда возможно сделать полный набор совместимых
независимых измерений, т. е. таких, когда измерения одних наблюдаемых не
возмущают измеренные уже значения других. Результаты всех возможных
совместимых измерений, как доставляющие максимально возможную информацию
о системе, могут быть использованы для характеристики состояния системы.
Для того чтобы два измерения были совместимы или одновременно выполнимы,
необходимо и достаточно, чтобы коммутировали операторы, соответствующие
измеряемым величинам. Самая широкая совокупность наблюдаемых, в которой
все они коммутируют друг с другом, образует «полный набор коммутирующих
операторов» (см. книгу Дирака [181]). Каждой совокупности собственных
значений полного набора коммутирующих наблюдаемых соответствует только
одно общее собственное состояние.
Таким образом, понятие акта измерения имеет фундаментальное значение для
формулировки и интерпретации квантовомеханического формализма. Анализ
различных типов физических измерений над микрообъектами показывает, что
почти всякое физическое измерение такого рода можно описать как процесс
столкновения. Достаточно лишь напомнить, что такие величины, как энергии
