Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 108

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 373 >> Следующая

спроектировать |%') на эта проекция, |%) (которая является либо
состоянием только с поперечными фотонами, либо вакуумом, либо равна
нулю), представляет физически реализуемое состояние (если | X) не равно
нулю), которому эквивалентно состояние | X7), т. е.
| X) и |х') ведут к одинаковым наблюдаемым следствиям. Эквивалентность
состояний |х) и 1х') в точности соответствует произволу в определении
x[ij[i2. ? • и™ (ki> • • • kn), который существует в силу калибровочных
преобразований. Но теперь этот произвол выражен с помощью векторов
состояний.
Чтобы понять последнее утверждение, вычислим среднее значение А^х) в
состояниях |х) и |Х'). Для этого заметим, что
оо п
<X'|Mk)|X'>G = <X|{l-f2 П ($-^Мк*))л1п,(к1,... kn)}x
п=1 i=l
со п
Xa,(k){l + S П ($^*(кг))л<п,(кь ... kn)}|x>G =
п= 1 г=1
оо 71
= <хК(к){1 +2 П ($ ^?*(k*)><n,(kb ... k„)}|x>G =
п=1 г=1
= <Х|Мк)-Ь VMk)|X>G, (9.55)
где
Л+(к)= — ha) (к). (9.56)
§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Ялейлкра
245
При получении (9.55) и (9.56) мы использовали то, что аи(к) и L (к')
коммутируют, а также равенство L (k) J X) = (% \ L* (к) = 0 и соотношения
коммутации
Таким образом, эквивалентность векторов состояния |Х) и |%') отражает тот
факт, что описание с помощью потенциалов всегда содержит произвол,
связанный с возможностью калибровочных преобразований, при которых Ид—
>Ид-|-9дЛ.
Однако скалярное произведение Гупта гарантирует, что все эквивалентные
волновые функции ведут к одинаковым физическим следствиям. В частности,
ясно, что средние значения наблюдаемой поля = дуАр — dy,Av в состояниях |
X) и | X ) одинаковы. Мы можем по желанию выбрать состояние |х), не
содержащее временных и продольных фотонов, в качестве представителя
класса эквивалентных состояний. Однацо это соответствует выбору частной
калибровки. Так, состояние вакуума | 0), характеризуемое условием ад (к)
|0) = 0 (ц = 0, 1, 2, 3), можно рассматривать как «представителя»
возможных в теории вакуумных состояний. Другие «вакуумы» отличаются от
состояния ]0) наличием равного числа временных и продольных фотонов. Тем
не менее средние значения любой калибровочно-инвариантной величины будут
одинаковыми для всех различных состояний вакуума.
Таким образом, формализм Гупта имеет определенное достоинство,
заключающееся в том, что в рамках теории включены и вполне определены
состояния с временными и продольными фотонами, что и должно иметь место
при математически корректном определении операторов (z), (р. = 0, 1, 2,
3). Но эти состояния не дают вклада в физически наблюдаемые величины (в
случае свободного поля).
В заключение этого параграфа отметим, что калибровочное преобразование
Ид—> Ид (х) = Ид (х) + ддЛ при ?Л = 0 порождается следующим унитарным
преобразованием:
[ад(k), L*(k')]= — /Сд/с06<3> (к — к").
(9.57)
Аналогично,
<Х') < (к)) х')с= <Х) а* (к) -7сдЛ_ (к) )х)с,
(9.58)
причем
Л_ (к) = ha) (к),
так что
(X' | Ид (х) | x')g = (X I Ид (х) + 9дЛ (х) ] х)<?
(9.59а)
при условии
? Л = 0.
(9.596)
а
причем
х(х) = ддИ^ (х)
(9.61а).
и
Ид(х) = ешАЛд(х)е-1С/л==Лд(х)+1г[ [UA, Ид (*)]+... (9.616)
Доказательство'. Заметим сначала, что U\(o) в действительности не зависит
от о, так как (6/6сг(х)) НЛ(сг) = 0, поскольку X и Л удовлетворяют
уравнениям ?Х=ПА = 0. Далее, поскольку коммутатор Uv
246
Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
И А^{х)
\Ua, All(x)]= J doHx')
= д^А (х) (9.62)
является с-числом, то в (9.616) дают вклад лишь первые два члена, чем и
доказывается сделанное утверждение. Поэтому наблюдаемую (которая с
необходимостью калибровочно-инвариантна) можно характеризовать как
величину, коммутирующую с U А, или, подробнее, с L(k) и L* (к).
Следовательно, наблюдаемая обладает тем свойством, что она переводит
вектор, принадлежащий #, в другой вектор из <9\ т. е. оставляет
инвариантным.
Мы закончим этот параграф, сформулировав перестановочные соотношения для
напряженностей электромагнитного поля:
[/'ф„(х), FЯд (х')] =
= iTic{g^dvdQ +g^d^ — gv^dg — gwdvd'K} D (х — x'). (9.63)
Для обсуждения этих перестановочных соотношений в связи с возможностями
совместимых измерений компонент электрического и магнитного поля в малых
пространственно-временных областях читатель отсылается к классическим
работам Бора и Розенфельда [69, 70], а также к обзорной статье
Коринальдези «[ 145]. (См. также [676, 677].)
§ 3. Трансформационные свойства
Здесь мы вкратце опишем трансформационные свойства оператора A^lx). При
собственных преобразованиях Лоренца А^ преобразуется как вектор, причем
U (а, А) Ац (х) U (а, Л)-1 = (А_1)^ПУ (Ах + а), (9.64)
где U при использовании скалярного произведения Гупта является унитарным
оператором, т. е. для произвольных j Ч) и |Ф)
(U (a, A) W, U (а, А) Ф)с = (?, Ф)с. (9.65)
Далее требуется, чтобы вакуум для электромагнитного поля (в некоторой
определенной калибровке) был инвариантным, т. е. U (а, А) | 0) = | 0).
Закон преобразования поля при пространственных отражениях, обеспечивающий
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed