Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(к) = 0. Такой выбор обеспечивает положительную определенность нормы
физически реализуемого однофотонного состояния [т. е. состояния, у
которого не равна нулю лишь амплитуда ЧДш(к)]:
(W, W)G = - J ^ ЧДШ (к) Чг'(1)м' (к) > 0. (9.43)
Знак равенства имеет место лишь тогда, когда Чг(1(1) (к) = 0. Аналогичные
утверждения можно сформулировать и для ге-фотоиных амплитуд. Вектор |
4я), принадлежащий ИР, обладает тем свойством, что его компоненты в
пространстве Фока «поперечны», т. е. удовлетворяют условию
(k, kt, . .. к„-0 = 0. (9.44а)
В силу статистики Бозе амплитуды ЧДД,, ... Цп (kt, .. . kn) симметричны
при перестановках (к,-р,Д-<—^(к;ц;), так что
.. • an (ki, • • •, кг, . . . к„) = 0 (9,446)
для всех i. (i = 1,2, ... п). Следовательно, тензоры ЧгМ'1й2 ''' т
(kt, . . . кп)
но каждому индексу цг либо изотропны, либо пространственно-подобны
[поскольку они ортогональны вектору (АрД.]. Поэтому скалярное
произведение Гупта на множестве ИР неотрицательно, т. е. (4я, Чг)ё>0.
Свобода калибровки опять подразумевает, что любая амплитуда Ч'ДД..
которая по индексу цг является изотропным вектором, т. е. пропорциональна
/Сц. (и в силу симметрии пропорциональна всем к^.), эквивалентна нулю, т.
е. не описывает физического состояния. Отсюда заключаем, что физически
реализуемые состояния при скалярном произведении Гупта имеют положительно
определенную норму. Это делает возможной физическую интерпретацию теории.
Выраженный через операторы в импульсном пространстве 4-вектор энергии-
импульса поля имеет вид
Р» = — J ^ a* (k) av (к) (9.45)
Покажем, что выражение — (k) av (к) при действии на вектор
из ИР
действительно является положительно определенным. Для этого выберем
§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера
243
особую систему координат, в которой векторы поляризации eW таковы, что
А^е"> (к) = ДОе'® (к) == О, (9.46а)
— №е® (к) = (к) = | к |. (9.466)
В частности, этим соотношениям можно удовлетворить, если так повернуть
систему координат, чтобы к0 = [ к [, к1 = — | к |, а /с2 = кя = 0, т. е.
чтобы
— I к | (1, 1, 0, 0), (9.47а)
II выбрать
(к) = (1, 0, 0, 0),
в“’(к) = (0, 0, 1,0),
е<?> (к) = (0, 0, 0, 1), {9'4/о)
е«>(к) = (0, 1, 0, 0).
Выбрав так единичные векторы поляризации и вспомнив, что
4
Мк)= 2 e(^(k)aW(k), (9,48)
a.=i
получим, что условие Лоренца (9.35) принимает вид
L (к) | ?) = к»а^ (к) j ?) = 0 = | к | [а<0) (к) - ат (к)] | ?) = 0
(9.49а)
или
a<0)(k)| Y) = a(3>(k)|?) (9.496)
для любого физически реализуемого состояния |?).
Отсюда, используя равенства (9.48) и (9.49) и действительность векторов
поляризации, заключаем, что для любого | ?) из ^
(?, - а* (к) (к) ?)с = (?, - S aW* (к) (к) gu-Y)G =
IV
= + (?, (а(1)* (к) аш (к) + а®* (к) а<2) (к)) W)G > 0, (9.50)
так как только поперечные фотоны дают вклад.
Таким образом, мы видим, что в силу дополнительного условия 4-вектор
энергии-импульса действительно неотрицателен на множестве <?0. Этот
результат становится понятнее, если заметить, что в определенной
равенством (9.47) системе координат дополнительное условие допускает лишь
такие состояния системы, которые содержат равное число продольных и
временных фотонов с одинаковым импульсом, поскольку
<? | a<cl* (k) а(0) (к) ]?) = <? | а<3)* (к) а® (к) | ?)
согласно (9.496). Временные фотоны вносят в полную энергию (импульс)
отрицательный вклад, который сокращается с вкладом от продольных фотонов.
Рассмотрим несколько подробнее состояния, принадлежащие множеству ак.
Отметим, что если j ?) есть физически реализуемое состояние, т. е.
удовлетворяет условию L(k)|?) = 0, а также содержит лишь поперечные
фотоны, тогда вектор
= + 5 ^g‘1>(k1)L*(k1)+...+
+ $^?<n)(kl’k2’" - к^ЧкО ... L* (к„) + . . . 11 ?) (9.51)
1G*
244
Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
снова принадлежит г7\ т. е. удовлетворяет условию L (к) | ?'} = 0 для
.всех к. Это следует из того, что L (к) и L* (к') коммутируют:
[L(k), ?*(k')] = ^;^(k), ev*(k')] =
= - k0k26 (k - k') = 0, (9.52)
так как к2— 0. В действительности, состояния, полученные с помощью
равенства (9.51) из физически реализуемых .состояний (т. е. содержащих
лишь поперечные фотоны), исчерпывают все векторы множества ifi. Кроме
того, скалярное произведение двух таких векторов |%'}, |Ф'}, где
СО 71
ix')={i + 2 п (J -^LL*(k‘))-A<n>(k‘* k2> ••• кп)}п),
71—0 i—\
ОО 71
|ф'>={1 + 2 П (S-^L*(k'))^<n,(ki- k2, ... кп)}|Ф>, (9.53)
n=0 i=l
а |Ф) и |х) —векторы физических состояний, содержащих только поперечные
фотоны, равно
<Х'|Ф'>о = <х!Ф>о, (9.54)
так как L (к) [Ф) = (Ф | L* (к) = 0. Таким образом, скалярное
произведение | %') и |Ф'} зависит лишь от проекций |х') и |Ф') на
множество физически реализуемых состояний. Как отмечалось выше, g%?
обладает тем свойством, что все векторы этого множества имеют
положительную норму. Поэтому к векторам множества применима вероятностная
интерпретация. Полученный выше результат приводит к следующему правилу
для интерпретации произвольного состояния 1%'), принадлежащего гУ\ Нужно
