Эксперимент в физике. Физический практикум. - Шутов В. И.
ISBN:5-9221-0632-5
Скачать (прямая ссылка):
• Почему нельзя считать /х экспериментально по формуле (2)?
• Вывести формулу для ускорения тела, скользящего по наклонной плоскости.
• Как определяются в работе значения функций sin а и cos а ?
• Вывести формулу для расчета погрешностей определения /х.
• От каких факторов зависят случайные погрешности в данной экспериментальной работе?
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ К РАБОТАМ ПО КОЛЕБАНИЯМ
Колебанием мы называем вид движения, при котором параметры системы (координаты, скорости и др.) многократно повторяются через равные промежутки времени.
Для количественного описания колебаний системы необходимо описать колебания отдельных ее точек.
Будем рассматривать только одномерное движение, когда положение можно описать одной координатой х как функцией времени х(1).
Периодическим называется движение, при котором любая возможная координата точки повторяется через строго определенное время Т, называемое периодом: х(1) = х(1 + Т), где /; — любой момент времени. (Под периодом понимается минимальное Т, удовлетворяющее этому условию).
Для характеристики колебаний введем частоту //, как число полных колебаний за 1 с.
где N — число полных колебаний за время /;. Поскольку период — это время одного полного колебания, можно записать
Наиболее распространенным в природе видом колебаний являются гармонические колебания, происходящие по закону:
где хт — амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение от положения равновесия, иоЬ + с^о — фаза колебаний, щ — начальная фаза колебаний, си — циклическая (круговая) частота. Найдем связь между и и и.
При изменении времени на период Т фаза колебания получит приращение 2тг, равное периоду косинуса:
(2)
х{Ь) = хт сов (ш< + {р0)
(3)
ои(1 + Т) + щ = си'/; + с^'о + 2тг, или иТ = 2 тт.
Окончательно получим:
(4)
т
32
Гармонические колебания. Теоретическое введение.
1. Модель, характеризующая основные свойства гармонических колебаний. Основные свойства, присущие одномерным колебаниям получим с помощью модели материальной точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса г с постоянной скоростью V (рис. 1).
Рис. 1.
Радиус-вектор г, проведенный к материальной точке, образует с осью х угол Lp1 который при равномерном вращении с угловой скоростью си меняется по закону
где ifo — начальный угол между осью х и вектором г. Координата х изменяется как
X = Г COS if = Хт COS (out + (fo). (5)
Найдем проекцию ускорения а на ось х. Вектор а направлен к центру окружности, т. е. противоположно вектору г, поэтому, используя формулу для це нтро стре м ите л ь но го ускорения, запишем
а = —и г (а = —, V = иг).
г
Следовательно
ах = — а;2^ или х + и2х = 0, (6)
где х — вторая производная по времени смещения от положения равновесия. Проекция ускорения ах также меняется по гармоническому закону:
ах = х = —xmuj2 cos (ut + 9?о)-
Гармонические колебания. Теоретическое введение.
33
Не посредственной подстановкой можно проверить, что решением уравнения (6) является функция, меняющаяся по гармоническому закону (3). Формула (6) — уравнение свободных колебаний.
Покажем, что и проекция скорости ух также меняется по гармоническому закону:
V cos
-v sin if ¦
-UJXm Sin (out + (fo).
(7)
Заметим, что уравнения (6) и (7) могут быть получены и не посредстве н н ы м дифференцированием (3) по времени.
2. Частота и период колебаний. Рассмотрим движение горизонтального пружинного маятника состоящего из невесомой пружины жесткости к, скрепленной с неподвижной стенкой, и тела массой га, способного двигаться вдоль оси пружины без трения. Начало оси х выбрано в положении равновесия (рис. 2).
Уравнение движения тела в проекциях на направление х в любой момент времени
ЛЛЛЛІ
х
та,
¦ VIII) X
—кх,
тах + кх
0. (8)
х
Рис. 2.
Если положить к/т = а;2, то (8) по форме совпадает с уравнением (6). Это значит, что тело на пружине совершает гармонические колебания с частотой и = \Jk/rn.
Частота колебаний и (а значит и период Т = 2п/ио) зависят только от «материальных» характеристик колеблющейся системы.
3. Роль начальных условий. Для того, чтобы система начала колебания, необходимо:
а) отклонить грузик от положения равновесия и отпустить;
б) не выводя из положения равновесия, мгновенно сообщить телу скорость;
в) с ком б и н иро вать эти условия.
При t = 0 уравнения (5) и (7) выглядят как
х(0) = х0 = xm cos (9)
vx (0) = v0 = -xmu)sm ip0. (10)
34
Гармонические колебания. Теоретическое введение.
Поделив уравнения (10) и (9) получим
tgVo = - —• (И)
LUX ()
Возведя уравнения (9) и (10) в квадрат и сложив их, находим
Хт = \lx2° + i' (12)
Из (11) и (12) видно, что амплитуда смещения от положения равновесия и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий х(0) = xq и vx (0) = Vq.
Пример 1. Начальные условия: х(0) = A, vx(0) = 0. (Тело га
отклонено от положения равновесия на 4, скорость его при этом равна нулю). Тогда из (11) tg = 0 => щ = 0, из (12) хт = VA2 = А и уравнение (5) выглядит как
х = A cos out.
Начальное отклонение А и будет амплитудой колебаний.
Пример 2. Начальные условия: х(0) = 0, vx (0) = v. (Тело га имеет скорость V и находится в положении равновесия). Из (11) tg с^о = —ос
