Эксперимент в физике. Физический практикум. - Шутов В. И.
ISBN:5-9221-0632-5
Скачать (прямая ссылка):
Покажем на примере произведения величин, что относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей этих величин.
Пусть S — площадь прямоугольника S = аЬ, где а и Ь измерены линейкой с абсолютными погрешностями Да и АЬ соответственно.
S = аЬ,
flmax = а + Да, 6max = Ь + Ab, Smax = S + AS, SVnax = (Да + Да) (Ь + Д6) = а6 + 6Да + аД6 + ДаДЬ,
12 Погрешности физических величин. Обработка результатов измерений
т. к. АаАЬ мало по сравнению с ЬАа и аАЬ, им можно пренебречь и
5тах = аЬ + 6Да + аД6. Очевидно АБ = 6Да + аД6, и для относительной погрешности получим
/п\ А 5 аЛ6 + ЬАа АЬ , Аа , ч , /1Л
е(5)= = -=- = -у- + — = е(а)+е(Ь).
о а о о а
Отсюда следует
Правило 2. Относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных ошибок сомножителей.
Только этих двух правил достаточно для вычисления абсолютных и относительных погрешностей наиболее часто встречающихся функций.
Примеры.
1. Пусть Дж) = ах" , где а и п —постоянные величины. Применяя правило для подсчета относительной погрешности произведения, получим
ЄІЛ — єіа) + є{%)п = є (а) + є(х) + ... + є(х) = є (а) + пє(х) = пє(х).
4.........................................................................................................................v.........................................................................................................................*/
п
Вычисляем абсолютную погрешность как
Д(/) = e(f)f = ne(x)f = 2б-(ж)ажп = nA^Lr = пах{п^ Ах.
X
1. Пусть /(ж, ?/) = аж + %2 .
Применяя правило для подсчета абсолютной погрешности суммы
Д/(ж, ?/) = Д(аж) + Д(%2) = б-(аж)аж + б-(%2)^2 = є(х)ах + 2є(у)Ьу2 =
= ^аж + ^И-Ьу2 = аДж + 2^Д?/, х у
а Ах + 2ЬуАу ах + Ьу2
определения погрешностей наиболее
т - f -
В таблице 2 приведены формулы часто встречающихся функций.
Погрешности физических величин. Обработка результатов измерений 13
Таблица 2
№ /(*) А/
1. ж + а Аж Ах х + а
2. ах аДж А ж ж
3. ахп агаж(п_1)Дж А ж п- ж
4. ах / Аж 1п (а) Аж 1п (а)
5. 1п X Д(ж) А ж ж 1п ж
6. 8т х А Ж' С08 ж Аж ж
7. С08 Ж Аж 8Ш ж Аж tg ж
Для строгого определения абсолютных погрешностей функций необходимо познакомиться с основами дифференциального исчисления.
Абсолютная погрешность для функции /(ж, у, г, ...) вычисляется как
где ж, у, г, ... — средние значения прямых измерений, Ах и Ах — полные абсолютные погрешности.
3. Построение графиков. При построении графиков необходимо учитывать, что для экспериментального результата мы получаем не точку, а прямоугольник со сторонами 2Ах и 2Ау, где Ах и Ау откладываются от точки, изображающей среднее значение величины («прямоугольник ошибок»).
Поэтому при построении графиков необходимо проводить плавную линию так, чтобы примерно одинаковое количество точек оказалось по разные ее стороны (рис. 2 а).
14 Погрешности физических величин. Обработка результатов измерений
При сравнении экспериментальных результатов х и у , они считаются совпадающими, если интервалы х ± Ах и у ± Ау имеют область пересечения (рис. 2 б).
Рис. 2.
Если известно табличное значение физической величины, критерием
ДОСТОВерНОСТИ ИЗМереНИЯ СЧИТаеТСЯ | / ^ /табл | ^ ЗД / .
Правила округления
На практике числа всегда округляют, т. е. отбрасывают десятичные знаки, начиная с некоторой цифры.
Значащими цифрами в числе, записанном в десятичном виде, называются все цифры, кроме первых нулей.
В следующем примере все значащие цифры подчеркнуты:
0,027010; 3,1415; 624,0.
Округлить число до п значащих цифр — значит оставить в нем п первых значащих цифр в соответствии с известными правилами округления.
Примеры.
1. Округление до одной значащей цифры:
0,0123 и 0,01; 0,375 и 0,4; 8,97 и 9;
2. Округление до двух значащих цифр:
0, 0123 « 0,012; 0,375 « 0, 38; 8,97 « 9,0;
3. Округление до второй цифры после запятой:
0,0127 « 0,01; 0,375 « 0,38; 8,97 = 8,97. Окончательный результат измерений всегда округляется.
Погрешности физических величин. Обработка результатов измерений 15
Сначала округляется абсолютная погрешность окончательного результата до первой значащей цифры, если она не единица и до двух цифр, если единица.
Затем округляется среднее значение до той же позиции, что и округленная абсолютная погрешность.
Так же округляется и относительная погрешность окончательного результата.
Таким образом окончательный результат записывается как
/ = /±л/, е(/) = ...%.
Примеры.
Пусть х = О,647; Ах = 0,143 ; е(х) = 0,231.
Окончательный результат: х = 0,65 ± 0,14 ; е(х) =0,2 = 20%. Пусть х = 0,0008396; Ах = 0,0000974; е(х) = 0,126.
Окончательный результат:
х = 0,0008 ± 0,0001, є(х) = 13%,
или
х = (8± 1) ¦ К)"4, є(х) = 13%.
Правилами подсчета погрешностей можно пользоваться также для нахождения малых приращений функций, что находит применение в различных физических задачах.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1
Целью работы является ознакомление с простейшими методами физических измерений, овладение навыками обработки результатов измерений.
