Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
Только после того, как идея фотонов стала достаточно обоснованной, Бозе (около 1924 г.) указал, что наряду со статистикой «осцилляторов полого пространства» можно говорить о статистике фотонов. Эта другая статистика и есть статистика Бозе. Вскоре после этого Эйнштейн сделал то же для частиц идеального газа. Поэтому я и указал, что можно также и в этом случае говорить об обычной статистике, примененной к волново-механическим собственным колебаниям, соответствующим движению частиц газа. Проблема п частиц
55
В связи с волновой точкой зрения в обоих случаях или, по крайней мере, во всех «случаях Бозе» возникает еще один интересный вопрос. Поскольку в случае Бозе мы, очевидно, встречаемся с простым осциллятором планковского типа, для которого ns служит квантовым числом, мы вправе спросить, не следует ли нам выбрать для ns не целые, а полунечетные значения
Вопрос этот, по моему мнению, следует признать открытым. По аналогии с предыдущим было бы весьма желательно остановить выбор на полунечетных числах, так как нулевая энергия планковского осциллятора ^hu не только вытекает из непосредственного исследования кристаллических решеток, но связана настолько тесно с соотношением неопределенностей Гейзенберга, что было бы крайне нежелательно расстаться с ней. С другой стороны, приняв ее безоговорочно, мы попадаем в затруднительное положение, в особенности при рассмотрении изменений объема (например, при рассмотрении адиабатического сжатия заданного объема черного излучения), так как в этом процессе приращения (бесконечной) нулевой энергии оказываются бесконечно большими! Поэтому мы не приписываем нулевой энергии значение ^hu и продолжаем считать ns целыми, начиная с нуля.
После этого отступления вернемся к нашей проблеме. Мы не будем рассматривать случай фотонов, он слишком хорошо известен, и читатель легко может познакомиться с ним сам. Поэтому мы воспользуемся выражением (7.22) [совместно с (7.19)], опуская в нем несущественную
постоянную тс2. Это дает ^7rY р2dp состояний отдельной частицы с им-
пульсом, лежащим между р и р + dp. a = ~--кинетическая энергия
отдельной частицы.
Используя эти выражения, превращаем суммы (7.14), (7.15) и (7.16) в интегралы; при этом сразу же вводим повсюду безразмерную переменную интегрирования
,2
х = р
так что интегралы сводятся к функции одного параметра При этом 56
Глава 2
получаем
4тгУ
п =
з 00
, (2ткТ)2 f X2 dx , (7.24)
ha J lpx2 т і
О "Г1
Ф = к log Z = -nfclogC=F 4пУк
3 00
(2ткТ)2 J log(l =F (е~х2)х2 dx, (7.25)
к3
о
U=4^ 3 5
(2т)2 (kT)2 [ ^dx (7 26)
ha J IpX2-T1-,
O^ "г
Сразу же видно, что первое из этих уравнений (определяющее С как V -
функцию (j^)T2) выражает тот факт, что частная производная от Ф по С исчезает.
Заметим, что с помощью интегрирования по частям интеграла, содержащего логарифм, для Ф может быть получено следующее выражение:
Ф = fclogZ = -TifclogC+^
3 00
(2ткТ)2 f X4 dx . (7.27)
І Уті
З h ,/ с -і-
O^ т '
Отсюда (используя замечание относительно ^r = 0) легко доказать справедливость (7.26), если образовать
U = T2Ц. (7.28)
Столь же просто может быть вычислено и давление
р = Т2§. (7.29)
Из (7.24) и (7.25) сразу видим, что C5 а следовательно, и Ф являются
з
лишь функциями от VT2 (при постоянном Tl). Отсюда и из предыдущих двух уравнений без труда заключаем, что
pV = § U (7.30) Проблема п частиц
57
имеет место в обоих случаях, а также, между прочим, и в классической теории идеального одноатомного газа (для теплового излучения pV = \U\ это означает, что р относительно очень велико, так как
в случае теплового излучения U представляет собой полную энергию, а в случае газа — только кинетическую). Из (7.27) вытекает еще одно общее соотношение:
pV
Ф = -пк IogC +^r, а так как это эквивалентно
s-У-
T'
то
nkTlogC = U - TS +pV;
другими словами, пкТ log С является термодинамическим потенциалом. (Еще один пример вспомогательной математической величины, приобретающей физический смысл! В то же самое время это подтверждает то обстоятельство, что наши рассуждения не являются простым приложением физического метода Дарвина и Фаулера, так как в последнем Iogz
был равен — TTF•) Глава 8
Оценка формул. Предельные случаи
Чтобы определить истинное поведение вырожденного газа, необходимо дать численную оценку двум определенным интегралам при различных значениях Укажем общий план этой процедуры. Прежде всего из (7.24),
з
з
1 = 4-7r(2mfc)2 vTl f X2dx
из п , , -п J LeX -р і
получаем функциональную зависимость между
[ Tj^' (8Л)
J L0X -г і
и С- (8.2)
п
Далее, из (7.26) и (7.30) получаем:
2 _Ц_ = pV_ = 2 4-7r(2mfc)2 у §
3 пкТ пкТ 3 h3 nJ^-X- і
І ^ex + 1
Выражение в правой части дает нам отклонение от обычных законов газов, ибо в случае последних оно равно единице. Действительно, если разделить почленно (8.3) на (8.1),
CXD
/ ^dx . (8.3)
J -,- 1
CXD
Г Оценка формул. Предельные случаи
