Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
Частная производная от (7.15) по ( исчезает согласно (7.10). Следовательно [хотя как показывает (7.10), зависит от а„], из (7.2) имеем:
ns = -ld-^ = —(7.16) I1 Oas 1 і
s ^etia* =F 1
Это выражение раскрывает смысл уравнения (7.14).
Согласно последнему уравнению, средняя энергия нашего газового тела, очевидно, равна:
u = E —• (7Л7)
s т і 52
Глава 2
Читатель может сам убедиться в том, что этот результат может быть также получен из (7.15) с помощью общего соотношения:
U = T2^ = kT2^. (7.18)
Если не считать одного любопытного исключения (случай бозе-эйнштейновской конденсации, который мы подробно рассмотрим в дальнейшем), суммы в выражениях (7.14), (7.15) и (7.17) и им подобные могут быть заменены интегралами. При этом мы можем не беспокоиться о точных значениях уровней ots-, нас интересует лишь их плотность на единицу приращения энергии.
Ограничимся случаем, когда Ots представляет собой лишь трансляционную энергию. (При низких температурах, когда «новая» статистика дает результаты, отличные от «старой», все газы становятся «одноатомными», так как колебания и молекулярные вращения полностью «замерзают», и их можно не учитывать.)
Число состояний (отдельной частицы), присущих «физически бесконечно-малому» элементу фазового пространства, равно
dxdydzdpxdpydpz
h3
Интегрируя первые три переменные по объему V и, кроме того, интегрируя по всем телесным углам (47г) импульса, получим
' '-P4 dp, (7.19)
h3
где р — абсолютное значение импульса. Если частицы обладают спином, это число должно быть, кроме того, помножено на небольшое целое число, 2 или 3, соответственно различным возможным направлениям
спина [2 — для спина а при отсутствии массы покоя также и для
спина 1 (фотон); 3 — для спина 1 при наличии массы покоя (мезон)].
Выражение (7.19) является распределением состояний отдельной частицы по оси импульсов р. Нам же для оценки наших сумм необходимо знать распределение по оси энергий а. Общее соотношение между а и р для свободной частицы, очевидно, имеет вид:
a = с\/ m2c2 + р2.
(7.20) Проблема п частиц
53
Это выражение распространяется на все случаи. Наличие квадратного корня делает его, однако, неудобным. Это неудобство, впрочем, не является существенным, поскольку практически приходится иметь дело лишь с двумя предельными случаями:
1) т = 0 (фотоны),
2) р тс для всех занятых уровней. (Это имеет место для всех частиц, кроме фотонов, при практически встречающихся температурах.)
В первом случае имеем
а = ср (фотоны.) (7-21)
Во втором случае с превосходным приближением получим:
а = тс2 + J^. (7.22)
Энергия покоя тс2 может быть опущена, поскольку она постоянна, а нулевая энергия нас не интересует.
Величина (7.19) может быть получена совершенно сходным образом из волновой механики. Согласно асимптотической формуле, данной Г. Вейлем, для любого волнового движения, происходящего в объеме V, определяемом любыми граничными условиями, число собственных колебаний с длиной волны > А будет равно выражению:
Эта величина должна быть умножена на небольшое целое число, 1, 2 или 3, в зависимости от того, каковы тензорные свойства волн, определяемые различными возможными состояниями поляризации плоской волны. Термин «асимптотическая» означает, что формула становится
точной в пределе —» оо. С помощью данного де Бройлем универ-A-5
сального соотношения между импульсом и длиной волны
»4
из (7.23) получаем
4тг V з
-ТзР '
3 h3
что дает для числа состояний между р и р + dp выражение (7.19). 54
Глава 2
Итак, мы можем рассматривать (7.19), во-первых, как выражение, дающее число квантовых состояний частицы, и, во-вторых, как выражение, дающее число волново-механических собственных колебаний внутри ящика. Эти два эквивалентных способа интересуют нас здесь по следующей причине: вторая из этих точек зрения позволяет нам трактовать т8 частиц, находящихся в состоянии as» как собственное колебание (или осциллятор полого пространства, если пользоваться принятым термином) на своем п8-м квантовом уровне. (Эта точка зрения соответствует так называемому вторичному квантованию или квантованию поля.) п8 становится квантовым числом, и наше утверждение о том, что система квантовых чисел
Пі, Tl2, п3, ... , п„,
определяет одно-единственное состояние газа, а не класс из
_п!_
rii! n2!... п8!...
состояний, перестает казаться нововведением, укладываясь в обычные представления о квантовых состояниях и их статистическом весе (одинаковом для любых двух состояний).
Часто употребляемый термин «новая статистика» возник именно в связи с первой точкой зрения, основанной на представлении о частицах. Этому же соответствует и то обстоятельство, что идея новой статистики не возникла первоначально в связи с тепловым излучением, так как в этом случае волновая точка зрения была исторической, классической, — никто и не думал вначале о чем-либо ином. Волновая картина считалась (и исторически действительно была) классическим описанием явлений. Квантование волн выступило, таким образом, в роли «первичного» квантования, и никто и не помышлял о чем-либо вроде «вторичного» квантования.
