Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
шения —, поскольку последнее выражает среднюю энергию, которой обладает одна система, входящая в ансамбль.
Другими словами, в этой точке на действительной положительной оси (обозначим ее пока через zo, опустив впоследствии индекс 0) первая производная подынтегральной функции обращается в нуль, вторая же производная должна быть положительной, и можно думать, что она очень велика. Следовательно, если мы будем двигаться от этой точки в направлении, перпендикулярном действительной оси, давая чисто мнимые приращения, подынтегральная функция будет проходить (оставаясь вначале действительной) через очень острый максимум. Возьмем в качестве контура интегрирования в (6.4) окружность с центром в точке О, проходящую через точку Z = Zo, рассчитывая, что основную долю в значение интеграла будет вносить только непосредственная окрестность этого чрезвычайно острого максимума. В свое время мы это докажем. Метод средних значений 35
Определим прежде всего значение zq, полагая первую производную равной нулю, и определим значение второй производной при z = Zq. При этом будет удобно воспользоваться логарифмическими производными. Пусть на действительной положительной оси
z~E~1f(z)N = е*<*> (6.5)
[мы берем, разумеется, главную ветвь, т. е. действительную часть g(z)]. Тогда Zo будет определяться выражением
JM = -^г + ]У7ы=0; (6'6)
и, далее,
Это показывает, во-первых, что при достаточно больших EnN zo не будет изменяться при пропорциональном возрастании EuN; во-вторых, поскольку величина g"(z0) в этом случае изменяется пропорционально EuN, она может быть сделана, таким образом, сколь угодно большой (то, что она положительна, не нуждается в доказательстве, так как это вытекает из общих соображений).
Следовательно, для очень малого, чисто мнимого приращения iy, сообщаемого z вблизи z = Zq, подынтегральное выражение может быть написано следующим образом:
и ближайшая окрестность окружности, по которой производится интегрирование, приведет [с любой желательной точностью, если с увеличением N величина g"(zo) делается достаточно большой] к результату:
+ OO
(6.9)
-e-i it „ \n 1
^{2тг g»(zo)}
Мы заключили в скобки, ибо нам предстоит еще доказать, что вычисление можно считать оконченным, т.е. что долей, вносимой остальной частью окружности, можно пренебречь при больших N. 36
Глава 2
Образно говоря1, это происходит потому, что отдельные члены ряда (6.3), «усиливающие» друг друга на действительной оси, будут, по мере перемещения г по окружности, «поворачиваться» вокруг начала координат с различными скоростями, определяемыми различными целыми числами ее в результате \f(z)\ будет, вообще говоря, значительно меньше, чем f(zo) (если не рассматривать область, лежащую непосредственно вблизи г = zo, что мы уже оговорили). Отношение абсолютного значения подынтегральной функции, взятой в произвольной точке г на окружности, к значению ее в z = Zo равно
шг
и становится для больших N сколь угодно малым по сравнению с послед-
1
ним (тоже малым) множителем в (6.9), т.е. с [27г^"(-го)] 2, порядок малости
_ і
которого равен N 2 . Чтобы сделать это заключение строгим, мы должны показать, что максимальное значение \f(z)\, скажем, M существенно меньше, чем f(z0):
M < f(z0).
Действительно, при этом доля, вносимая в интеграл остальной частью окружности, наверное, не превышает величины
N
lfk) ' (6Л2)
которой, при N —» оо можно пренебречь по сравнению с (6.9).
Чтобы доказать (6.11), обратим внимание на то, что равенство M = f(zo) могло бы иметь место только в том случае, если в какой-нибудь точке окружности Z, существенно отличной от zo, все члены (6.3) снова складывались бы наиболее благоприятным образом. Поскольку первый член действителен и положителен (є і =0), то и все остальные должны были бы быть действительными и положительными в этой точке. Пусть 2-7г) — фазовый угол в этой точке. Тогда все произведения
Є1 ip, Є293, • • • , Slip, . . .
должны были бы быть целыми кратными 2тг, а все целые числа єі — целыми кратными т.е.
1Читатель при желании может полностью не знакомиться с этим растянутым
доказательством (набранным петитом). Метод средних значений
37
Однако это возможно только, если ip = 2тг (т.е. при г = zo), ибо если —^
P
больше единицы, то оно должно быть рациональной дробью — с числителем больше единицы, даже если эта дробь образована наименьшими целыми числами р и q. Тогда р было бы общим делителем всех єі что противоречит нашему предположению об отсутствии такового.
Это доказательство довольно искусственно и не очень импонирует физику, которому трудно поверить, что отдельный уровень Є( может испортить все дело. Действительно, мы можем себе представить, что все уровни, кроме одного, имеют довольно большой общий делитель р, который не может быть устранен вследствие того, что один уровень им не обладает. Приходится удовлетвориться тем, что даже один единственный «нарушитель» может воспрепятствовать неограниченному приближению максимума M к f(zo). Действительно, поскольку не все Єї, имеют общий делитель, они должны приобретать это свойство (не иметь делителя) в некоторой конечной точке ряда, например єт¦ Предполагаемый «нарушитель» может тогда оказаться лишь членом ряда с єі ^ єт, что, очевидно, устанавливает также верхний предел величины предполагаемого общего делителя р остальной части. Не полностью действительный (частично мнимый) член ряда будет обладать фазовым
