Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шмутцер Э. -> "Симметрии и законы сохранения в физике" -> 5

Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.

Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике — Москва, 1974. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriiizakonisohraneniya1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 42 >> Следующая


В этом параграфе мы рассмотрим два различных, не связанных друг с другом вида преобразований, а именно прежде всего преобразования координат, влекущие за собой определенным образом преобразования геометрических объектов (полевых функций), и затем преобразования функций, состоящие в изменении вида функциональной зависимости. Это понятие, таким образом, объединяет калибровочные, фазовые и прочие преобразования. Мы будем обозначать координатные преобразования с помощью штриха при индексе, а функциональные — с помощью знака тильда над буквой.

Рассмотрим сначала преобразования координат. Под бесконечно малым (инфинитезимальным) преобразованием координат мы будем понимать такое бесконечно малое изменение системы координат, описываемое соотношением

которое само может зависеть от пространственно-временной точки. Пусть преобразование координат сводится просто к изменению наименования или ярлыка, оставляющему, однако, при этом без изменения сам физический объект.

В силу трансформационных законов для геометрических объектов эти преобразования влекут за собой соотношения

Здесь величины AsFe называются существенными вариациями Fe- Соответственно для производных имеем

Здесь и далее запятая обозначает частную производную по соответствующей координате.

Из (1.1.1) следуют выражения для матриц преобразования тензоров

Xа' = ха + Iа (Xb),

(1.1.1)

F0' (ха") = Fe (га) + AsF0.

(1.1.2)

Fe', V {Xа') = Fe1 г (®“) + AsF0,1.

ГДе g™ = бат — тензор Кронекера.
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 15

Операция существенной вариации не перестановочна с операцией частного дифференцирования. Перестановочность, однако, достигается, если существенную вариацию заменить локальной вариацией:

AlF0 = AsFe — Fei0Ia, AllFe1 a = AsFe, а— Fe, а, ь?ь,

(1.1.4)

которая, будучи взята с обратным знаком, известна под названием дифференциала Ли:

A^Fe= —AllFe-

Для наглядности полезно иметь в виду другое эквивалентное определение локальной вариации

AlF0 = Fe' (Za)-F0 (ха).

Введем теперь функциональную вариацию, которая, согласно сказанному выше, определяется равенством

Fe (za) = F0 (za)+ 6F0. (1-1.5)

В силу этого определения она перестановочна с операцией частного дифференцирования.

Величина

AF0 = AsF0+ SF0, (1.1.6)

индуцируемая координатным и функциональным преобразованиями вместе взятыми, называется полной вариацией.

Для всех видов введенных здесь вариаций, если применять их к произведению полевых функций F0 И Uz,

справедливо правило Лейбница дифференцирования произведения:

As (V®U s) = (AsF0) CZ2 + F0 (A SU 2),

Аь (Fe?7s) = (Ai1F0) ?/z+ F0 (A^tZ2), б (VeUs) = (SF0) CZ2 + F0 (6?Ъ),

A (F0CZ2) = (AF0) CZs + Fe (ACZ2).

Имея в виду дальнейшие применения, рассмотрим теперь скалярную плотность X (Vq, Fel01 я6)> соответствующую лагранжевой плотности A (F0, F01 а, х6)

и определенную как
16

Глава I

X = AVg, g=-det(gab). (1.1.7)

Мы будем называть эту величину функцией Лагранжа, или лагранжианом.

Для простоты мы ограничимся здесь лагранжианами с производными не выше первого порядка. Развитие теории для лагранжианов со вторыми производными можно найти в работе [3].

Полная вариация X равна

Разложение в ряд Тейлора с учетом того, что бесконечно малые величины выше первого порядка малости отбрасываются, дает

Сокращение «явн» означает взятие производной относительно явной зависимости от координат.

Выражая полные вариации согласно (1.1.6) и (1.1.4) и используя обозначение для вариационной производной х)

приходим к новому выражению:

1J Математики под знаком функциональной производной (б/б) пишут символ самого функционала, от которого эта производная берется [в данном случае это интеграл действия W, см. (1.1.11)], однако у физиков принята запись, использованная здесь автором.— Прим. перев.

bX = X{V@’, Ve-, а-, хЪ') - X (Fe, Fe, a, Xb) = = X (F6 + AF6, Fe, a + AF0, а, хъ + 1Ь) - X (Fe, Fe, а, хь).

+[^6F9] +

Учитывая тождество

107
Непрерывные симметрии в общерсл. класс, теории поля 17

и используя сокращение

п0а = _|?_) (1Л9)

получаем, наконец,

AX = -щ SF0 + [IIeaSF0] ,a-Xlmtm +

+ ^(AsF0-F0imIm) +

+ [II0aAsF0+ Im [Xgma-UeaVet то)], а- (1.1.10)

Наш дальнейший анализ связан с интегралом действия, который определяется как инвариантный четырехмерный интеграл по наперед заданной области пространства-времени F4 следующим образом:

IF = -J- J Ad^f = \ j Xd^x. (1.1.11)

V4 Vi

Здесь d(i)f = V gdli)x— инвариантный элемент четырехмерного объема. Из данного выше определения полной вариации для полной вариации интеграла действия получаем

AW = W' - W =

= 7 j A (F0 + AF0F01 a + AF01 xb + lb) d<*> J-

Vi

— A (Ve, Ve, a, xb)d^f.

Vi

Соотношение

8g = ggmn8gmn

дает связь

#4) 7=(1 + б In Vg) d(i,f,

которая приводит к выражению

AIF = I J [A (Ve + AF0, F01 a + AF01 + |ь) X

V і

X (I + S In Vg) — A (Fe, F01 a, xb)] ф4> /.
18

Рлава І

Отсюда, пользуясь разложением в ряд Тейлора, получаем наконец
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 42 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed