Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Л=1
Х(ал(М + (-1)лал(-^)), (6.4.29)
которое следует подставить в формулу (6.4.21).
Дискретные симметрии в квантовой теории
141
Б. Вигнеровское обращение времени
Ввиду ограниченного объема этой книги мы коснемся здесь лишь вигнеровского обращения времени, представление о котором попытаемся перенести из квантовой механики в квантовую теорию поля. Требование, чтобы вигнеровское обращение времени в применении к лагранжевой плотности (5.6.1) было преобразованием симметрии, приводит к следующим законам преобразования полевых операторных функций:
a) Av-(X1) = JTWAil(X1)JTW+= — Av(xv, —t),
б) ф' (х$ = ^wq> (Xі) У w+ = q> (xv, —t);
а) Ф' (Xі) = JTwO (Xі) J'w* = агФ (xv, — t),
б) Ф+,(х1) = (xi) = ат*Ф+(**> -t)-
При этом должно выполняться равенство
аТ*аТ = 1. (6.4.32)
При повторном применении вигнеровского обращения времени к (6.4.31) получаем также в предположении
GT 2 — 4 J W — 1
ссг2 = 1, (6.4.33а)
откуда
ат = ±1. (6.4.336)
В этом состоит принципиальное отличие законов преобразования (6.4.31) от формул классической теории, что видно из сравнения с (4.2.17).
Обнаруживается, что как для плотности электрического тока (4.2.5а), так и для плотности заряда (4.2.56) обеспечены правильные трансформационные свойства.
В случае свободных полей инвариантными относительно вигнеровского обращения времени будут и перестановочные соотношения (6.4.8) — (6.4.11).
Мы воздержимся здесь от приведения законов преобразования операторов рождения и уничтожения.
142
Глава 6
Для интегральных величин (6.4.12) — (6.4.16) следуют разумные законы преобразования
(6.4.34)
a) SwQSw+ — Qi б) SwV-VPilSw+=-(K-F)Pllf
в) s wv-msw+= ^-rW;
а) SwWPilSw+= -WPlil
б) SwWHSw+ = <М>Я. (6.4.35)
Явный вид оператора вигнеровского обращения времени мы также не станем здесь выписывать.
В. Зарядовое сопряжение
Законы преобразования, соответствующие всем требованиям зарядового сопряжения, имеют вид
а) Ф' = %Ф^+ = асФ+, б) Ф+' = <ёФ+(ё+ = ас*Ф,
. в) Ат' = <ёАт<ё+=-Ат. (6-4‘36)
Чтобы показать инвариантность лагранжевой плотности (5.6.1) и правильные трансформационные свойства физических величин, существенно писать все эти выражения в виде нормальных произведений, так как лишь при таком стандартном расположении сомножителей удается получить требуемые результаты. При этом условии для введенного выше коэффициента получаем
ас*ас = і¦ (6.4.37)
В случае свободных полей нетрудно также показать инвариантность перестановочных соотношений и вывести законы преобразования для операторов рождения и уничтожения. Мы не приводим здесь эти результаты ввиду ограниченного объема книги. Теперь мы можем вывести законы преобразования интегральных величин, имеющие вид
a) Q' = =—Q, б) (К-Г)/у = ЧбР-Ър^+ = (к-г)Р]
в) (К-Г)Я' = ^(К-Г)Я^+ = (К_Г)Я, (6.4.38)
и*
Дискретные симметрии в квантовой теории
143
г) = =
д) wZf' = <ё(Ы)1Шл = (М)Я.
Построение оператора зарядового сопряжения осуществляется аналогично тому, как это делалось в случае оператора четности.
§ 5. Система, состоящая из максвелловского и дираковского полей
В этом параграфе мы также даем лишь набросок соответствующей теории. Здесь мы опять постараемся по возможности рассматривать систему связанных полей. Результаты, уже полученные для максвелловского поля, здесь можно было бы просто вновь воспроизвести, HO от этого мы воздержимся.
А. Пространственное отражение
Лагранжева плотность (5.6.12) инвариантна относительно пространственного отражения, если биспиноры преобразуются по закону
a) 1Ir' (х1) = P1F (а;‘) P+ = CipyixP (— Xv, t),
б) ?' (х1) = S51F (Xі) P+ = — ccp*Y( — xv, г) Y4. ^ ^
При этом должно иметь место равенство
ар*ар=1. (6.5.2)
Это обеспечивает хорошие трансформационные свойства плотности 4-вектора электрического тока (5.6.14).
В случае свободных полей фуръе-разложение дираковского поля имеет вид
?(l,)“15?7rx
X f<Jll'i{eVaA(yyA(t,.) + e-"J'ipA(t„)*lFJ(t„)} (6.5.3)
(суммирование по А от 1 до 2). Здесь Vа и PFa — постоянные проектирующие матрицы, возникающие в решении уравнения Дирака для плоских волн. Для них справедли-
144
Глава 6
вы стандартные соотношения ортонормированности и полноты. Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям *)
а) {«a(V)> aX (V)) = 0,
5) (Pa(Aii)* Px(V)) = 0.
в) W(V)- Pa(V)) = 0- ^6-5-4)
Г) {«A (V)> aA (V) ) = 6AA6(V V)’ д) {Pa (V)’ Pa (V)+) = 6AA6 (V-V)*
тогда как для операторных полевых функций имеем а) (Ya(^i), Yp(Zi))= О,
б) {YaH, Yp (?)} = (6.5.5)
= i ( YaP7A, J — -^-6арД) = iSa(i (Xi--Xi).
Важнейшие интегральные сохраняющиеся величины дираковского поля записываются в виде
2
= й 2 |(«Л+«Л — Рл+Рл)с2(3)?, (6.5.6)
A=I
2
2 j V(aA+«A + PA+PA)rf(3>^, (6.5.7)
A=I
2
Я=Й 2 J Щал+«л + Рл+Рл)d^k. (6.5.8)
A=I
Здесь использовано сокращенное обозначение (6.4.7а).
Законы преобразования (6.5.1) теперь можно переписать для операторов рождения и уничтожения. При этом
