Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шмутцер Э. -> "Симметрии и законы сохранения в физике" -> 36

Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.

Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике — Москва, 1974. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriiizakonisohraneniya1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 .. 42 >> Следующая


l) О перестановочных функциях см., например, в монографии [24].— Прим. перев.
Дискретные симметрии в квантовой теории

137

а) [ФОс’), ФИ]= 0, (6.4.10)

б) [Ф(а;*), Ф+(ж*)] =— 2^ct-A (Xі — Xі),

[Am(Xi), An(Xi)] = Iamn(Xi-Xi). (6.4.11)

При этом в основу квантования максвелловского поля кладется предложенная Валатэном и развитая нами далее процедура, использующая сильное условие Лоренца (д3 + а4 = 0), калибровочно инвариантный лагранжиан и гильбертово пространство с определенной метрикой [13].

Для основных интегральных сохраняющихся величин поля Клейна — Гордона следуют выражения

Q = e j (a+a-p+p)d<3>&, (6.4.12)

<к-пр ( &й(сс+а + р+р)с2(3)&, (6.4.13)

•/

(K-T)ff = Л j Q(a+a + p+$)d<3% (6.4.14)

и для поля Максвелла

2

(М)Р^П 2 J KaA+aAd«% (6.4.15)

A=I

2

(м)H = h 2 J &aA+aAd™k. (6.4.16)

A=I

Здесь и далее индекс А пробегает поперечные степени свободы максвелловского поля, т. е. А = 1, 2.

Применяя законы преобразования (6.4.1) и (6.4.2) к операторам рождения и уничтожения, получаем соотношения

а) Pa(^)P+= aPa(-kv),

б) ^№)^+ = «р*Р(-М; (

а) РаА (Jctl) P+ = ( 1)л ад ( к^),

б) Pa3(к») P+ = а.3( — Ю-
138

Глава 6

Непосредственное вычисление показывает, что коммутационные соотношения (6.4.8) — (6.4.11) инвариантны относительно определенного таким образом пространственного отражения. Тем самым обеспечивается инвариантность всей основы теории Максвелла — Клейна — Гордона относительно отражения.

Для интегральных величин (6.4.12) — (6.4.16) следуют ожидавшиеся законы преобразования:

a) &Q&+ = Q, б) _(к-г)^ (6.4.19)

в) <^(К-Г)Я^+ = (К-Г)Я;

a) SWQPvlP+= -WP11, б) ^WtfIP+= Mtf. (6.4.20)

Явное выражение для оператора пространственной четности в случае свободных полей

Далее нас будет интересовать задача явного построения оператора пространственной четности (часто называемого просто оператором четности). Оператор Si мы представим при этом в виде

® = eiP. (6.4.21)

В случае поля Клейна —Гордона соотношения (6.4.17) принимают вид

а) eiPa (V) e~ip = apa{- Itv),

б) e«*p (Jcv) є-* = аР*р ( - V), {ЬЛ'гг)

причем P = P+.

Рассмотрим сначала первое из этих соотношений. Применяя здесь вспомогательную формулу (6.1.12), нахо-

а

дим (забегая вперед, подставляем P -*¦ Р):

a (V) + iIp, а (V)] + [-P. [Л а (V)]] + • • • =

= 0^(-/?). (6.4.23)

Это равенство удовлетворяется, если принять

[Д a (V)] = Tj- [a (V)— aPa (— V)]- (6.4.24)
Дискретные симметрии в квантовой теории

139

а

Оператор P определяется из (6.4.24) как

Р = — T j а+ [а ^ ~ ара (— k^ d^k =

= —X j [® (kи) — aPa (” Ml+ х

X [«(V)— a^a (— V)] ^Ъ)к. (6.4.25)

Рассмотрим аналогичным образом и второе из соотношений (6.4.22), придав ему подобную же структуру. На основании коммутативности полученных операторов в конце концов находим

(K-DjP = _JL j (а+ (^) [а (^) -аРа(- V)] +

+ P+ (V) fP (V)—«рР (— V)])dl3>k=

= — j- j ([а (V) — “р“ (— V)]+ Iа (V) — aPa (— V)] +

+ [Р (V)—«рР (—V)l+ IP (V)—“рР (— V)]) di^k- (6.4.26)

Поскольку

(К-Т)р 10) = 0,*

в согласии с (6.3.4) получаем

(к-г)^ j 0) = I 0).

Так как оператор №—г)Р является сохраняющейся величиной, для него должно выполняться соотношение [(К-г)/>; (к-г)//] __ о.

Оно проверяется и непосредственным расчетом. Поэтому ДЛЯ операторов (К—Г)р и (К—Г)Ц можно построить общие собственные векторы состояния. Собственные векторы оператора Гамильтона, получаемые многократным применением оператора рождения с определенным значением волнового числа к вектору вакуумного состояния, еще не являются собственными векторами оператора четности. Однако, так как собственные значения энергии вырождены (одно и то же значение энергии имеют состояния с Ull и с —Jiv), общие собственные векторы состояния строятся путем линейной комбинации. Таким образом, одночастич-
140

Глава 6

ному состоянию, построенному с помощью а+ (&д), соответствует общий для обоих операторов собственный вектор

11 Mg =¦-Щ (11(М>-«р 11 ('-№ (6.4.27)

где

11 (Ац)) = а+(М|0).

Расчет дает

ск-г)Р 11 {kii))g = -Jt 11 (к»))в. (6.4.28)

Отсюда следует, что для такого состояния оператор (к-г)Ц5 обладает собственным значением —1 и т. д.

Теперь можно спросить, как существование новой сохраняющейся величины — четности — объясняется теорией Нётер. Вид выражения (6.4.26) показывает, что оператор четности обладает нелокальной структурой, так как в подынтегральном выражении содержатся операторы рождения и уничтожения, зависящие как от кп, так и от —Jtll. Эта нелокальность переносится и на координатное пространство. Ho теорию Нётер понимают как локальную теорию, и поэтому она не запрещает появления новых нелокальных сохраняющихся величин.

По аналогии с тем, как это было в случае поля Клейна — Гордона, оператор четности можно построить и для максвелловского поля. При этом получаем выражение

2

(M)P = _ JL j #*>к 2 «л+ (V) («Л (К) + (- 1)лал (- Zcti)) =

Л=1

2

= _ JL j т 2 (ал (Zcti) + (- 1)Л ал (_ Jffl))+ х
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 .. 42 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed