Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
l) О перестановочных функциях см., например, в монографии [24].— Прим. перев.
Дискретные симметрии в квантовой теории
137
а) [ФОс’), ФИ]= 0, (6.4.10)
б) [Ф(а;*), Ф+(ж*)] =— 2^ct-A (Xі — Xі),
[Am(Xi), An(Xi)] = Iamn(Xi-Xi). (6.4.11)
При этом в основу квантования максвелловского поля кладется предложенная Валатэном и развитая нами далее процедура, использующая сильное условие Лоренца (д3 + а4 = 0), калибровочно инвариантный лагранжиан и гильбертово пространство с определенной метрикой [13].
Для основных интегральных сохраняющихся величин поля Клейна — Гордона следуют выражения
Q = e j (a+a-p+p)d<3>&, (6.4.12)
<к-пр ( &й(сс+а + р+р)с2(3)&, (6.4.13)
•/
(K-T)ff = Л j Q(a+a + p+$)d<3% (6.4.14)
и для поля Максвелла
2
(М)Р^П 2 J KaA+aAd«% (6.4.15)
A=I
2
(м)H = h 2 J &aA+aAd™k. (6.4.16)
A=I
Здесь и далее индекс А пробегает поперечные степени свободы максвелловского поля, т. е. А = 1, 2.
Применяя законы преобразования (6.4.1) и (6.4.2) к операторам рождения и уничтожения, получаем соотношения
а) Pa(^)P+= aPa(-kv),
б) ^№)^+ = «р*Р(-М; (
а) РаА (Jctl) P+ = ( 1)л ад ( к^),
б) Pa3(к») P+ = а.3( — Ю-
138
Глава 6
Непосредственное вычисление показывает, что коммутационные соотношения (6.4.8) — (6.4.11) инвариантны относительно определенного таким образом пространственного отражения. Тем самым обеспечивается инвариантность всей основы теории Максвелла — Клейна — Гордона относительно отражения.
Для интегральных величин (6.4.12) — (6.4.16) следуют ожидавшиеся законы преобразования:
a) &Q&+ = Q, б) _(к-г)^ (6.4.19)
в) <^(К-Г)Я^+ = (К-Г)Я;
a) SWQPvlP+= -WP11, б) ^WtfIP+= Mtf. (6.4.20)
Явное выражение для оператора пространственной четности в случае свободных полей
Далее нас будет интересовать задача явного построения оператора пространственной четности (часто называемого просто оператором четности). Оператор Si мы представим при этом в виде
® = eiP. (6.4.21)
В случае поля Клейна —Гордона соотношения (6.4.17) принимают вид
а) eiPa (V) e~ip = apa{- Itv),
б) e«*p (Jcv) є-* = аР*р ( - V), {ЬЛ'гг)
причем P = P+.
Рассмотрим сначала первое из этих соотношений. Применяя здесь вспомогательную формулу (6.1.12), нахо-
а
дим (забегая вперед, подставляем P -*¦ Р):
a (V) + iIp, а (V)] + [-P. [Л а (V)]] + • • • =
= 0^(-/?). (6.4.23)
Это равенство удовлетворяется, если принять
[Д a (V)] = Tj- [a (V)— aPa (— V)]- (6.4.24)
Дискретные симметрии в квантовой теории
139
а
Оператор P определяется из (6.4.24) как
Р = — T j а+ [а ^ ~ ара (— k^ d^k =
= —X j [® (kи) — aPa (” Ml+ х
X [«(V)— a^a (— V)] ^Ъ)к. (6.4.25)
Рассмотрим аналогичным образом и второе из соотношений (6.4.22), придав ему подобную же структуру. На основании коммутативности полученных операторов в конце концов находим
(K-DjP = _JL j (а+ (^) [а (^) -аРа(- V)] +
+ P+ (V) fP (V)—«рР (— V)])dl3>k=
= — j- j ([а (V) — “р“ (— V)]+ Iа (V) — aPa (— V)] +
+ [Р (V)—«рР (—V)l+ IP (V)—“рР (— V)]) di^k- (6.4.26)
Поскольку
(К-Т)р 10) = 0,*
в согласии с (6.3.4) получаем
(к-г)^ j 0) = I 0).
Так как оператор №—г)Р является сохраняющейся величиной, для него должно выполняться соотношение [(К-г)/>; (к-г)//] __ о.
Оно проверяется и непосредственным расчетом. Поэтому ДЛЯ операторов (К—Г)р и (К—Г)Ц можно построить общие собственные векторы состояния. Собственные векторы оператора Гамильтона, получаемые многократным применением оператора рождения с определенным значением волнового числа к вектору вакуумного состояния, еще не являются собственными векторами оператора четности. Однако, так как собственные значения энергии вырождены (одно и то же значение энергии имеют состояния с Ull и с —Jiv), общие собственные векторы состояния строятся путем линейной комбинации. Таким образом, одночастич-
140
Глава 6
ному состоянию, построенному с помощью а+ (&д), соответствует общий для обоих операторов собственный вектор
11 Mg =¦-Щ (11(М>-«р 11 ('-№ (6.4.27)
где
11 (Ац)) = а+(М|0).
Расчет дает
ск-г)Р 11 {kii))g = -Jt 11 (к»))в. (6.4.28)
Отсюда следует, что для такого состояния оператор (к-г)Ц5 обладает собственным значением —1 и т. д.
Теперь можно спросить, как существование новой сохраняющейся величины — четности — объясняется теорией Нётер. Вид выражения (6.4.26) показывает, что оператор четности обладает нелокальной структурой, так как в подынтегральном выражении содержатся операторы рождения и уничтожения, зависящие как от кп, так и от —Jtll. Эта нелокальность переносится и на координатное пространство. Ho теорию Нётер понимают как локальную теорию, и поэтому она не запрещает появления новых нелокальных сохраняющихся величин.
По аналогии с тем, как это было в случае поля Клейна — Гордона, оператор четности можно построить и для максвелловского поля. При этом получаем выражение
2
(M)P = _ JL j #*>к 2 «л+ (V) («Л (К) + (- 1)лал (- Zcti)) =
Л=1
2
= _ JL j т 2 (ал (Zcti) + (- 1)Л ал (_ Jffl))+ х