Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Квантовая теория поля
А. Пространственное отражение
Полностью в духе общей формулы преобразования
(5.3.8) запишем
Ua, (х1)= PUa(Xi) &>+. (6.3.1)
Дискретные симметрии в квантовой теории
133
Оператор сГ1 обладает свойством унитарности
ZF+==P-1. (6.3.2)
Из (6.3.1) следует равенство
U0.. (Xі) = P2U0(Xi) P+K (6.3.3)
Вектору вакуумного состояния мы по определению припишем четность -j- 1:
Р\0)=+\0). (6.3.4)
Б. Обращение времени
Будем описывать обращение времени как операцию Ua-(Xi) = SUa(Xi)S+, (6.3.5)
потребовав унитарности S:
J^+ = Jr-I. (6.3.6)
Отсюда следует
U^(Xi) = S2Ua(Xi)S+2. (6.3.7)
Как известно из квантовой механики, операция обращения времени антилинейна.
В духе предыдущих предположений вигнеровское обращение времени определяется соотношением (S' = Sw):
UQ' (X1) = S wUq (х1) Sw+', (6.3.8)
кроме того,
a) SwocSw+ = oc*, б) |ф>' = {^|ф» = <ф|. (6.3.9)
Швингеровское обращение времени соответственно дается соотношениями
^ Ua- (Xi) = SrsUa(Xi)Ss+, (6.3.10)
Ss (Ua И Fs (Zi)) = Vzr (Xі) Ua. (х% (6.3.11)
|Ф),|={^'6|Ф)} = (Ф|. (6.3.12)
134
Глава 6
В. Зарядовое сопряжение (переход от частиц к античастицам)
Как было отмечено выше, это преобразование специфично для квантовой теории поля. Определим его соотношениями
a) U'Q' = Wd&*, б) |Ф)' = «|Ф>. (6.3.13)
Преобразование зарядового сопряжения не влияет на координаты. Для него справедливы равенства
a) = б) ®+ = т. е. ^2=I. (6.3.14)
Оператор преобразования tS определяется таким образом, чтобы под его действием произвольный заряд Q менял свой знак:
a) -Q, или б) %Q + Q% = 0. (6.3.15)
Последнее равенство находится в противоречии с требованием
VS, Q]= 0, (6.3.16)
которое должно выполняться в случае одновременной измеримости наблюдаемых % и Q. Если постулировать справедливость последнего уравнения, то из этого будет следовать существование общей системы собственных векторов
a) Q\q) = q\q), б) %\q) = lc\q), ?с = ± 1; (6.3.17)
здесь q — собственные значения оператора заряда Q, а ?с — собственные значения оператора tS (зарядовая четность).
Умножая соотношение (6.3.156) на | q ), в силу (6.3.17) получаем равенство
Icq I?) = О- (6.3.18)
Отсюда видно, что зарядовая четность может быть определена лишь для системы, полный заряд которой равен нулю (q = 0). Известным иллюстрационным примером может служить позитроний.
Вектору вакуумного состояния | 0) мы по определению приписываем зарядовую четность ?с = 1, так что для него
«|0)=+|0>. (6.3.19)
Дискретные симметрии в квантовой теории
135
§ 4. Система, состоящая из максвелловского и клейн-гордоиовского полей
Мы будем исходить здесь из основ, заложенных в гл. 5, § 6, и сравнивать результаты квантовой теории поля с выводами из классической теории, полученными в гл. 4, § 2. При этом по возможности будет рассматриваться система связанных полей, и лишь позднее будет наложено ограничение свободных полей.
А. Пространственное отражение Общая теория
Требование, чтобы пространственное отражение было в применении к лагранжевой плотности (5.6.1) преобразованием симметрии в духе (6.1.1), приводит к следующим законам преобразования полевых операторов:
а) A11- (Xі) = SbAil (Xі) #+ = — A11 (— zv, t), (6.4.1)
б) ф' (Xі) = еЯф (х1) = ф ( — zv, t);
а) Ф' (Zi) = еЯФ (Zi) еЯ+ = аРФ (— xv, t), (6.4.2)
б) Ф+' (Zi)= <^Ф+ (Zi)= ССр*Ф+ ( — zv, t).
Здесь Ctp — комплексное постоянное число, подчиненное условию
ар Op=I. (6.4.3а)
Повторное применение оператора четности к (6.4.2) в предположении (Э52 = 1 дает, кроме того,
ctp = 1, (6.4.36)
так что
ар = ±1. (6.4.3в)
Число OCp называют собственной четностью поля.
Два соотношения (6.4.1) можно объединить в одно:
Am'(Xi) = SiAm^xi) = ImAm ( — xv, ty, (6.4.4)
при этом знаковый множитель
f —1 для т = \, 2, 3,
'"={ +1 для т=4.
136
Глава 6
Суммирование по повторяющимся дважды индексам т здесь отсутствует (расстановка индексов также не предписывает суммирования). Законы преобразования (6.4.1) и (6.4.2) согласуются с классическими формулами (4.2.7) и (4.2.9).
Мы установим далее, что для плотностей электрического тока и заряда, а также и для самого электрического заряда обеспечены правильные трансформационные свойства.
Свободные ПОЛЯ В случае свободных полей фуръе-разложения имеют
вид
ф(*‘)=1^ S / шгЫК)е"“1+.
+ P+ (V) e~ihJxj) da)k, (6.4.5)
Ат (xi)=S Vr ~тг^ х
X («2 (V)eihJxl + Я2+ (V) e~ihJx’)d(3)k. (6.4.6)
При этом
a) Q(Jf) = Cj/+ (6.4.7)
б) Q (к) = ск= — скк и в (6.4.6) проводится суммирование по 2 от 1 до 4. Если не выписывать коммутаторов, равных нулю, то для операторов рождения и уничтожения имеют место перестановочные соотношения
а) [а (V), а+ (V)] = б (Zcll- V),
б) [p(V), P+ (V)I = S(V-V);
[ал (V)’ аА+ (V)] = бллб (V — V)’ (6.4.9а)
[а3 (A)11), а3+ (V)] = [e4 (kv), а4+ (?,)] = — б (V — V)-
(6.4.96)
Перестановочные соотношения для полевых функций (операторов) имеют вид1)
