Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
В этих предположениях мы проанализируем сначала уравнение для собственных значений
H I т (0) = Em I т (O)
в гейзенберговском представлении. Если бы оператор Sw был линейным, то в силу (6.2.25) из собственных векторов I т (t)) можно было бы построить и собственные векторы для Sw. Однако ввиду правила (6.2.28) уравнение для собственных значений антилинейного оператора в обычном смысле существовать не может. Итак, известная теорема операторного исчисления здесь не справедлива.
Рассмотрим теперь произвольные векторы состояния
I ф> = S Фт (О I т («)) И < Y I = 2 <« W I Чп* (О- (6.2.29)
771 П
Действуя на них операторами Sw и Sw+, находим
I ФУ = {Sw |Ф» = 2 фт* (О I т (t))} =
Ttl
= 2Фт*(0<™(01 = (Ф| (6.2.30а)
т
И
'(Y і={(W і =2 «и (01 гw+} т „ (о =
п
= 21 и (0> 1MO = IП (6.2.306)
п
Перемножая оба эти равенства друг на друга и вводя определение
sw(41 ф) = {Sw ІФ» «VI Sw*), (6.2.31)
130
Глава 6
получаем
<¦WІ Ф> S-w+ = 2 Фт* (t) Wm (t) = (ФI W), (6.2.32)
Ttl
что вполне согласуется с правилом (6.2.27). Следовательно, скалярное произведение при обращении времени претерпевает комплексное сопряжение. Тем самым обеспечивается инвариантность вероятностей перехода.
Из уравнения движения (5.6.25) для произвольного вектора состояния следует преобразованное уравнение движения
d I Ф>' п й(ф I п ,(, Q оо\
-L- = O или -JJ- = O. (6.2.33)
Эрмитово сопряжение снова переводит его в исходное уравнение движения, что и свидетельствует об инвариантности.
б) Швингеровское обращение времени. Вторая из упомянутых выше возможностей исследовалась Швингером [12], достигшим того же эффекта для соотношения (6.2.26) в предположении, что оператор JT приводит к обращению порядка сомножителей (пусть = JFs):
S', (SE (t) 83 (t)) Ss+ = ЯЗ' (t) W (t). (6.2.34)
Заметим, что и это предположение несовместимо с законом ассоциативности, ибо иначе было бы можно отбросить скобки, и при этом сохранился бы порядок следования операторов.
Законы преобразования векторов состояния могут быть записаны так же, как это было сделано выше.
В заключение вернемся вновь к основной проблеме. Преобразование (6.2.14), рассматриваемое как несомненно верное для операторов координат и импульсов, приводит к (6.2.15), нарушая тем самым форм-инвариантность перестановочных соотношений. Можно было бы и удовольствоваться этим заключением, из которого следует, что основные законы квантовой механики не обладают форм-инвариантностью относительно обращения времени. Если же принять за первичный постулат форм-инвариантность основных законов квантовой механики вообще (как это было нами сделано выше), то получается, что вытекающее
Ддекретные симметрии в квантовой теории
131
отсюда «правильное» обращение времени не ограничивается просто преобразованием (6.2.14), а требует дополнительной операции в смысле Вигнера или в смысле Швингера.
Шрёдингеровское представление
Преобразование обращения времени в приложении к перестановочным соотношениям или уравнениям движения для операторов здесь не имеет каких-либо особенностей. Поэтому мы сосредоточим внимание на уравнении Шрёдингера (6.2.11).
В шрёдингеровском представлении произвольный вектор состояния можно представить в виде фурье-разло-жения
I Ф (*)> = S фт (0 I т) ШШ (Ф(01 = 3(/п|Фт*(0- (6.2.35)
тп т
а) Вигнеровское обращение времени. В силу (6.2.28а) из (6.2.35) получаем
I ф (t)Y == I ф (0)} = <ф (о |. (6.2.36)
Применяя теперь оператор ?Гw к уравнению (6.2.11), находим
(JTw(Я(?(0, SM*)) IФ (*)>»= -^4<ф(01- (6.2.37)
Чтобы далее преобразовать это уравнение, необходимо прояснить смысл его левой части. Отождествим систему собственных кет-векторов I т, ) с собственными векторами оператора Гамильтона; тогда
Я|Ф(ф = 2Фт (t)Em\m)
TH
и далее
{JTW (Я IФ (i)»} = S (m I Фт* (0 En =
т
= 3<т|ЯФ„,*(і) = <Ф(0|Я.
TH
Поэтому уравнение (6.2.37) переходит в уравнение
d
132
Глава 6
Эрмитово сопряжение дает отсюда уравнение Шрёдингера в обычном виде, что и доказывает его форм-инвариантность. Тем самым оправдываются и предположения (6.2.28).
Согласно равенству (6.2.32), шрёдингеровские собственные функции
Yro (?,,) = <g | т> (6.2.38)
при обращении времени претерпевают комплексное сопряжение:
йГ ш or +____ W *
J W “ W — т т •
Сделаем еще два замечания относительно уравнения Шрёдингера в координатном представлении
дФ (Я.и.1 t)
H1Piqil, t) =M ¦¦¦ , ' (6.2.39)
где Hd — дифференциальный оператор Гамильтона. Поскольку, строго говоря, речь идет о классическом уравнении, рассмотрение можно проводить в духе гл. 4, § 2. Последовательно производя преобразование t t' = —t (также в присутствии электромагнитного 4-потенциала), приходим к уравнению, принимающему при комплексном сопряжении вид исходного уравнения Шрёдингера, но уже для волновой функции Ф*, которую следует рассматривать как обращенную во времени:
ф'= ^VDtTV = Ф*.
Этот результат вполне согласуется с выводом (6.2.32).
б) Швингеровское обращение времени. Так как в этом случае преобразование векторов состояния совпадает с имеющим место в теории Вигнера, от рассмотрения этого случая мы воздержимся.
